Dividiendo fracciones y números mixtos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Encontrar el recíproco de un número.

·         Dividir dos fracciones.

·         Dividir dos números mixtos.

·         Dividir fracciones, números mixtos, y números enteros.

·         Resolver problemas de aplicación que requieren división de fracciones o de números mixtos.

 

 

Hay veces que necesitas usar la división para resolver un problema. Por ejemplo, aplicar una capa de pintura en las paredes de una habitación requiere 3 galones de pintura y compraste 6 galones de pintura, ¿cuántas capas puedes aplicar sobre las paredes? Divides 6 entre 3 para obtener la respuesta de 2 capas, Habrá veces que necesitas dividir una fracción. Supongamos que quieres pintar un armario y sólo necesitas  galón de pintura. ¿Cuántas capas puedes aplicar con 6 galones de pintura? Para encontrar la respuesta, necesitas dividir 6 entre la fracción, .

 

 

Si el producto de dos números es igual a 1, los dos números son recíprocos entre ellos, Mostramos algunos ejemplos:

 

 

 

En cada caso, el número original, cuando se multiplica por su recíproco, resulta 1.

 

Para crear dos números que al multiplicarlos den 1, el numerador de uno es el denominador del otro. A veces se dice que un número se “voltea” para obtener el otro número: volteamos  para obtener su recíproco . Para encontrar el recíproco de un número mixto, primero lo escribes como una fracción impropia para que pueda ser “volteado.”

 

 

 

¿Cuál es el recíproco de ? A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Las partes fraccionales de ésta respuesta y el número mixto original son recíprocos, pero para encontrar el recíproco de un número entero, debes escribir el número mixto como una fracción impropia antes de intercambiar el numerador y el denominador. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. Encontraste la fracción impropia correcta que representa  pero no encontraste el recíproco. El recíproco de  es .   C) Correcto. Primero, escribe  como una fracción impropia,. El recíproco de  se encuentra intercambiando (“volteando”) el numerador y el denominador.   D) Incorrecto. Éste es el recíproco correcto par ala parte fraccional del número mixto, pero con un número mixto, primero necesitas escribirlo como una fracción impropia. El número mixto,  puede escribirse como la fracción impropia, . El recíproco de  se encuentra intercambiando (“volteando”) el numerador y el denominador.

 

 

 

Cuando divides un número entero, multiplicas por el recíproco de su divisor, En el ejemplo de la pintura donde necesitas 3 galones de pintura para aplicar una capa y tienes 6 galones de pintura, puedes encontrar el número total de capas que puedes pintar dividiendo 6 entre 3, 6 ÷3 = 2. También puedes multiplicar 6 por el recíproco de 3, que es , entonces el problema de multiplicación se convierte en .

 

La misma idea funciona cuando el divisor es una fracción. Si tienes  de un dulce y necesitas dividirlo entre 5 personas, a cada persona le toca  del dulce:  de  es , por lo que cada persona obtiene  del total del dulce.

 

Si tienes una receta que necesita dividir a la mitad, puedes dividir cada ingrediente entre 2, o puedes multiplicar cada ingrediente por  para encontrar la cantidad buscada.

 

 

De manera similar, con un número mixto, puedes ya sea dividir entre el número entero o puedes multiplicar por el recíproco. Supongamos que tienes  de pizzas que quieres dividir equitativamente entre 6 personas.

 

 

Dividir entre 6 es lo mismo que multiplicar por el recíproco de 6, que es . Corta la pizza disponible en 6 rebanadas iguales.

 

A cada persona la toca una rebanada, por lo que a cada uno le toca  de pizza.

 

Dividir una fracción entre un número entero es lo mismo que multiplicarla por su recíproco, por lo que siempre puedes usar la multiplicación de fracciones para resolver problemas de divisiones.

 

 

 

 

Encuentra . Simplifica la respuesta y escríbela como un número mixto.     A)   B)   C)   D).   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Correcto. Escribe  como una fracción impropia . Luego multiplicas por , el recíproco de 2, Esto te da la fracción impropia , y el número mixto es , .   B) Incorrecto. Después de convertir el número mixto a una fracción impropia, seguramente invertiste  en lugar de 2. Toma , y multiplica por el recíproco de 2, para obtener . Finalmente, escribe  como un número mixto, , .   C). Incorrecto. Ésta es la fracción impropia correcta, pero aún debes escribir la respuesta final como un número mixto, , que es .   D) Incorrecto. Olvidaste encontrar el recíproco de 2 antes de multiplicar. Una vez que tienes la fracción impropia equivalente a , que es , multiplica por el recíproco de 2, que es , lo que te da . Finalmente, escribe  como un número mixto, , .

 

 

 

A veces necesitas resolver un problema que requiere que dividas entre una fracción. Supongamos que tienes una pizza que está cortada en 4 rebanadas. ¿Cuántas  rebanadas hay?

                          

 

Hay 8 rebanadas. Puedes ver que dividiendo 4 entre  da el mismo resultado que multiplicando 4 por 2. ¿Qué pasaría si necesitas dividir cada rebanada en tercios?

 

 

 

Tendrías 12 rebanadas, que es lo mismo que multiplicar 4 por 3.

 

Dividiendo con Fracciones   1.      Encuentra el recíproco del número que está después del símbolo de división. 2.      Multiplica el primer número (el que está antes del símbolo de división) por el recíproco del segundo número (el que está después del símbolo de división).   Ejemplos:    y

 

Una manera sencilla de recordar cómo dividir fracciones es la frase “conserva, cambia, voltea”. Esto significa CONSERVA el primer número, CAMBIA el símbolo de división por el de multiplicación, y luego VOLTEA (usa el recíproco) del segundo número.

 

 

 

 

 

Cuando resuelves un problema de división multiplicando por el recíproco, recuerda escribir todos los números enteros y números mixtos como fracciones impropias. La solución final debe ser simplificada y escrita como un número mixto.

 

 

 

 

 

Encuentra . Simplifica la respuesta y escríbela como un número mixto.     A)   B)   C)   D) 8   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente escribiste  como una fracción impropia incorrectamente . Para escribir  como una fracción impropia, multiplica 5 veces 3 y suma 1. El denominador es 3.  = Luego cambia la división por multiplicación y multiplica por el recíproco de , que es , que resulta en .   B) Incorrecto. Probablemente olvidaste usar el recíproco de . Después de encontrar la fracción impropia  que representa , cambia la división por multiplicación y usa el recíproco de , que resulta en .   C) Incorrecto. Ésta es la fracción impropia correcta, pero la respuesta final debe ser expresada como un número mixto. Divide 16 entre 2, que es 8 sin residuo. No hay parte fraccional, entonces la respuesta es el número entero 8.   D) 8 Correcto. Escribe  como una fracción impropia, . Luego multiplica por el recíproco de , que es , que resulta en .

 

 

 

Usar la multiplicación por el recíproco en lugar de la división puede ser muy útil para resolver problemas que requieren la división de fracciones.

 

 

 

 

 

 

¿Cuántos saleros de de taza pueden llenarse con 12 tazas de sal?   A)   B)   C) 30   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Probablemente olvidaste encontrar el recíproco de . Encuentra . Conserva el 12, cambia la división a multiplicación, y usa el recíproco (“voltear”) de , que resulta en .   B) Incorrecto. Te falta encontrar el número mixto que representa . En este caso 60 dividido entre 2 es 30 R0, por lo que la respuesta es el número entero, 30.   C) 30 Correcto.  calcula cuántos saleros pueden llenarse. Escribe 12 como y multiplica por el recíproco (“voltear”) de , que resulta en .   D) Incorrecto. Usaste incorrectamente la expresión . Esto calcula cuántos grupos de 12 hay en . Necesitas encontrar cuántos grupos de  hay en 12, que es . Luego escribe 12 como y multiplica por el recíproco (“voltear”) de , que resulta en .

 

 

La división es lo mismo que multiplicar por el recíproco. Es la manera más fácil de dividir cuando trabajas con fracciones. Ya sea que divides un número o multiplicas por el recíproco, el resultado será el mismo. Puedes usar éstas técnicas para ayudarte a resolver problemas que implican una división, fracciones, y/o números mixtos.