Multiplicando números enteros y aplicaciones
Objetivos de aprendizaje
· Usar tres maneras diferentes de representar una multiplicación.
· Multiplicar números enteros.
· Multiplicar números enteros por una potencia de 10.
· Usar el redondeo para estimar productos.
· Encontrar el área de un rectángulo.
· Resolver problemas de aplicación usando la multiplicación.
Introducción
La multiplicación es una de las cuatro operaciones aritméticas básicas (junto con la suma, la resta y la división.) Las personas usan la multiplicación en una variedad de tareas cotidianas como calcular el costo de comprar varios artículos que tienen el mismo precio, el cálculo del impuesto sobre las ventas, encontrar el área de una figura geométrica y otras mediciones. Si quieres calcular el costo de 6 gorras de béisbol que cuestan $14.00 cada una, habría que sumar 14,00 + 14,00 + 14,00 + 14,00 + 14,00 + 14,00, o usar la multiplicación, que es un atajo para resolver una suma repetida.
En lugar de sumar el mismo número una y otra vez, una forma más fácil de obtener el resultado es usar la multiplicación. Supongamos que quieres encontrar cuántos peniques hay en 9 nickels. Puedes usar la suma para averiguarlo. Como un nickel vale y peniques, o 5 centavos, puedes calcular el valor de 9 nickels sumando 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5. Ésta suma repetida muestra que 9 nickels tienen un valor de 45 centavos.
Esta suma tan larga es engorrosa. Por lo que la operación matemática llamada multiplicación nos puede ayudar a realizar más rápido la suma repetida de números enteros. Para encontrar el valor de 9 nickels puedes escribir la ecuación de la multiplicación: 5 • 9 = 45.
5 • 9 = 45 se lee “cinco por nueve es igual a 45” o “cinco multiplicado por nueve es igual a 45.” Los números que están siendo multiplicados se llaman factores. Los factores en éste ejemplo son 5 y 9. El resultado de la multiplicación se llama producto. El producto de 5 • 9 es 45.
Además de representar una multiplicación como 2 • 3 = 6, puedes usar el signo de multiplicación x, 2 x 3 = 6, o también paréntesis: (2)(3) = 6, o 2(3) = 6.
| 3 Maneras de Escribir una Multiplicación
Usando el signo de multiplicación: 2 x 3 = 6 Usando un punto: 2 • 3 = 6 (no es el punto decimal) Usando paréntesis: (2)(3) = 6 o 2(3) = 6
|
Para sumar el mismo número varias veces, puedes usar la multiplicación. Tomas el número que estas sumando y lo reescribes como un problema de multiplicación, multiplicándolo por el número de veces que lo estás sumando. Por ejemplo, si le sirves 2 galletas a 13 niños, podrías sumar 2 trece veces o podrías usar la multiplicación para encontrar la respuesta.
2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 •13 = 26
También lo podrías escribir con paréntesis: 2(13) = 26
Para entender lo que es multiplicar, considera tres maneras distintas de pensar en la multiplicación de números enteros.
Método 1: Modelo de Conjuntos
La multiplicación es una manera de reescribir una suma repetida. Cuando lees el problema 3 • 5 lo podrías ver como 3 grupos de 5 cosas — 3 platos con 5 galletas cada uno; 3 canastas, cada uno con 5 naranjas dentro; o tres pilas con 5 monedas cada pila. Podemos representar esto con una figura:
3 • 5 = 3 grupos de 5 = 15
Método 2: Modelo de Recta Numérica
LA multiplicación también puede representarse en la recta numérica. El problema, 3 • 5 se modela a continuación. Puedes ver que las flechas recorren cada vez una distancia de 5 unidades. Después de 3 “saltos” en la recta numérica, la flecha termina en la posición 15.
Método 3: Modelo de Área
Otra forma de pensar en una multiplicación es imaginar un arreglo o un modelo de área que represente dicha multiplicación. Puedes pensar 3 • 5 como 3 filas de 5 cosas. Podría ser una caja de chocolates que tiene 3 filas de 5 chocolates, o una sala de juntas que tiene 3 filas de 5 sillas. Las figuras siguientes muestran dos arreglos rectangulares de 3 • 5.
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¿Puedes ver que ambas figuras representan el producto 15? La figura de la izquierda muestra un área de 3 por 5. Si cuentas todos los cuadritos que la conforman, el total será 15. De manera similar, en la figura de la derecha, puedes ver 3 filas de 5 círculos que equivalen a 15 círculos.
| Ejemplo | ||||
| Problema | ¿Cuál es el producto de 4 • 6? Usa el modelo de conjuntos, el modelo de recta numérica y el modelo de área para representar la multiplicación |
|
| |
|
| Modelo de conjuntos:
Modelo de recta numérica:
|
|
| |
|
| Modelo de área:
|
|
| |
| Respuesta 4 • 6 = 24 |
|
|
| |
Si cambias el orden en el que multiplicas dos números, el producto no cambiará. Esto es válido para cualquier par de números que multipliques. Piensa en el problema anterior.
Pudiste hacer 6 saltos de 4 o 4 saltos de 6 en la recta numérica y terminar en 24.
También pudiste hacer 6 filas de 4 o 4 filas de 6 y aun así tendrías 24 cuadritos.
6 • 4 = 24 y 4 • 6 = 24.
| Tanisha representó 5 • 8 usando los siguientes modelos. ¿Qué modelos son representaciones de la multiplicación de estos dos factores? # 1
#2
#3
A) Los tres modelos representan 5 • 8.
B) Sólo los modelos #1 y #3 representan 5 • 8.
C) Sólo los modelos #2 y #3 representan 5 • 8.
D) Ninguno de los modelos representa 5 • 8.
|
Multiplicando números más grandes
Volvamos a la pregunta propuesta al principio de éste tópico de estudio. ¿Cómo puedes utilizar la multiplicación para calcular el costo total de 5 gorras de beisbol que cuestan $14 cada una? (No hay necesidad de pagar impuestos). Puedes encontrar el costo multiplicando 14 • 6.
Una forma de hacer éste cálculo es descomponer 14 en partes y multiplicar cada parte por 6.
Seguramente recuerdas la multiplicación calculada de ésta forma:
214
x 6
84
En ésta notación, algunos de los pasos se escriben de manera especial. Podrás notar que el producto de 6 y 4 (24) se escribe poniendo el 4 en el lugar de las unidades y escribir un pequeño 2 arriba del 1. Éste 2 es realmente un 20. Luego, 6 es multiplicado por 1. En realidad estamos multiplicando 6 por 1 decena y luego sumamos 20 para obtener el 80 del 84.
A continuación se muestra un ejemplo donde se multiplican números de dos dígitos. Cuando realizamos ésta multiplicación, cada parte de cada número se multiplica por el otro número. La notación numérica se muestra acompañada de su descripción
| Ejemplo | |||
| Problema | 47 • 52 |
|
|
|
| 47 x 52 | Alinea los números respecto a su valor de posición. |
|
|
| 1 47 x 52 4 |
Multiplica las unidades. 2 x 7 = 14 unidades. Escribe 4 unos en el lugar de las unidades y reagrupa 10 unos en el lugar de las decenas |
|
|
| 1 47 x 52 94
|
Multiplica 2 unidades por 4 decenas, y suma la decena reagrupada, 2 unidades x 4 decenas + 1 decena = 9 decenas.
|
|
|
| 347 x 52 94 50
|
Multiplica las decenas. 5 x 7 = 35 decenas. Escribe 5 decenas en el lugar de las decenas y reagrupa
|
|
|
| 347 x 52 94 2350
|
Multiplica 5 decenas x 4 decenas = 20 centenas. Suma el 3 reagrupado, lo cual es 3 centenas. |
|
|
| 347 x 52 1 94 + 2350 2,444
|
Suma ambas filas, 94 + 2350. |
|
| Respuesta 47 • 52 = 2,444 | |||
Nota que estás multiplicando cada una de las partes de cada número por las partes del otro número. Lo haces de una manera sistemática, yendo de las unidades a las decenas. También estás usando la notación para mantener el orden en el que reagrupas. Esto se hace escribiendo arriba pequeños números.
Para mantener tus columnas derechas y tu tarea organizada, considera utilizar papel cuadriculado o de raya volteado hacia un lado para formar columnas con las líneas. Aquí se muestra un ejemplo de un problema escrito en papel cuadriculado:
|
|
| 2 | 3 |
|
| x | 1 | 2 |
|
|
| 4 | 6 |
| + | 2 | 3 | 0 |
|
| 2 | 7 | 6 |
Cuando multiplicas números enteros, asegúrate de alinear los dígitos según su valor de posición. En el ejemplo anterior, los dígitos en el lugar de las unidades están alineados: el 2 del 12 está directamente debajo del 3 en el 23.
Cuando multipliques números por 10 o potencias de 10 (100; 1,000; 10,000; 100,000), descubrirás algunos patrones interesantes: diez unos son iguales a diez; diez dieces son iguales a cien; diez cienes son iguales a mil. Aprender estos patrones te pueden ayudar a hacer cálculos más fácil y rápidamente.
Considera el ejemplo de 25 • 100. Primero, usemos el método estándar para multiplicar estos números
| Ejemplo | ||||
| Problema | 25 • 100 |
|
| |
|
| 100 x 25 500 2000 2,500 |
|
| |
| Respuesta | 25 • 100 = 2,500 |
|
| |
Usando el método estándar hemos calculado 25 • 100 = 2,500.
Observa la tabla siguiente para encontrar un patrón en los factores y productos. Nota cómo el número de ceros en las potencias de 10 (10, 100, 1,000, etc.) se relaciona con el número de ceros en el producto.
| Factores | Producto |
| 5 • 10 | = 50 |
| 5 • 100 | = 500 |
| 5 • 1,000 | = 5,000 |
| 5 • 10,000 | = 50,000 |
Puedes ver que el número de ceros en el producto es el mismo que el número de ceros en la potencia de 10 (10, 100, 1,000, etc.). ¿Sucede esto siempre o sólo en algunas situaciones? Observa otros 2 patrones:
| Factores | Producto |
| 10 • 10 | = 100 |
| 10 • 100 | = 1,000 |
| 10 • 1,000 | = 10,000 |
| 10 • 10,000 | = 100,000 |
| Factores | Producto |
| 120 • 10 | = 1,200 |
| 120 • 100 | = 12,000 |
| 120 • 1,000 | = 120,000 |
| 120 • 10,000 | = 1,200,000 |
Nota que en los dos últimos ejemplos ambos factores tienen ceros. El número de ceros en el producto es igual a la suma del número de ceros al final de cada uno de los factores.
El ejemplo siguiente ilustra cómo multiplicar 140 • 3000.
| Ejemplo | ||||
| Problema | 140 • 3000 |
|
| |
|
| 114 x 3 42 | Identifica las partes que no son cero de los factores y multiplícalas.
Multiplica 3 unidades por 4 unidades. 4 • 3 = 12. Escribe 2 en el lugar de las unidades y reagrupa la decena. |
| |
|
|
420,000 | Cuenta el número de ceros en cada factor. 140 tiene un cero; 3,000 tiene tres ceros. 1 + 3 = 4 Escribe otros 4 ceros después del 42. |
| |
| Respuesta | 140 • 3000 = 420,000 |
|
| |
Multiplicando por diez
Cuando multiplicas un número entero por 10 o por una potencia de 10, primero multiplica las partes distintas de cero de los números. Luego incluye una cantidad de ceros al final del producto equivalente al número total de ceros al final de los factores
13 • 100 = 1,300
180 • 2,000 = 360,000
| Un huerto de manzanas produjo 100 costales de manzanas. Si hay 30 manzanas en cada costal, ¿cuántas manzanas produjo el huerto?
A) 130
B) 300
C) 30,000
D) 3,000
|
Algunas veces no es necesario calcular el producto exacto pues una estimación es suficiente. Si vas de compras, puede ser inconveniente detenerte a hacer cálculos con papel y lápiz, o incluso con una calculadora. Normalmente, los compradores redondean los números hacia arriba para asegurarse que traen dinero suficiente al pagar en la caja.
Estimar productos también es útil para revisar una solución a un problema de multiplicación. Si el cálculo real está lejos de tu estimado, es muy probable que te hayas equivocado al alinear por valor de posición o al reagrupar.
Para estimar un producto, normalmente primero redondeas los números. Cuando redondeas números, siempre redondeas a un lugar de posición en particular, como por ejemplo al millar más cercano o a la decena más cercana. Si redondeas un número a la decena más cercana, lo redondeas a la decena que más se acerca al número original. Un ejemplo de esto es redondear 317 a la decena más cercana. En éste caso, redondeas 317 a 320. Si el número está a la mitad (315), generalmente se redondea hacia arriba a 320.
Redondear factores puede hacer más fácil la multiplicación en tu mente. Consideremos la multiplicación 145 • 29. Para estimar éste producto, puedes redondear a la decena más cercana.
| Ejemplo | ||||
| Problema | Utiliza el redondeo para estimar el producto 145 • 29. |
|
| |
|
| 150 • 30
| Redondea los números a la decena más cercana. |
| |
|
| 15 • 3 = 45 | Multiplica los números distintos de cero. |
| |
|
| 4,500
| Cuenta los ceros en los factores e incluye ése número de ceros después del 45. |
| |
| Respuesta El estimado de 145 • 29 es 4,500. | ||||
Puedes utilizar una calculadora para ver si tu estimado es razonable. O puedes usar la estimación para asegurarte que la respuesta que obtienes en la calculadora es razonable. (¿Alguna vez has tecleado los números equivocados?)
|
| Números tecleados: 145 x 29 = Resultado: 4,205 El producto exacto y el estimado se parecen lo suficiente para confiar en tus cálculos.
|
| Una fábrica produce 58 paquetes de galletas en una hora. Hay 32 galletas en cada paquete. ¿Cuál es el mejor estimado del número de galletas que produce la fábrica en una hora?
A) 1,800
B) 1,500
C) 18,000
D) 180
|
La fórmula para calcular el área de un rectángulo utiliza una multiplicación: largo • ancho = área. Aplicando lo que ya sabes sobre la multiplicación, puedes encontrar el área de cualquier rectángulo si conoces sus dimensiones (largo y ancho). Considera el rectángulo que mide 4 por 7 mostrado a continuación. Su largo es 7 y su ancho es 4.
|
|
|
|
| Largo = 7 |
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
Ancho = 4 |
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Puedes dividir el rectángulo en unidades, haciendo 7 columnas y 4 filas.
|
|
|
|
|
| 7 |
|
|
|
|
|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Puedes observar que si divides el rectángulo de ésta manera obtienes 28 cuadritos 7 • 4. (Nota: El área siempre se mide en unidades cuadradas: pulgadas cuadradas, centímetros cuadrados, pies cuadrados, etc.)
Considera un ejemplo de un rectángulo mayor, como el que se encuentra en una cancha de futbol. En cada lado de la cancha, centrado en la portería, se encuentra un rectángulo grande. Éste rectángulo se llama el área de penal porque una falta cometida dentro de éste rectángulo resulta en un tiro de penalti. En una cancha de futbol oficial, el área de penal mide 44 yardas por 18 yardas. ¿Cuál es el área en yardas cuadradas?
| Ejemplo | ||||
| Problema | 44 yardas • 18 yardas |
|
|
|
|
| 344 x 18 352 440 792 |
|
|
|
| Respuesta El área del rectángulo es de 792 yardas cuadradas. |
| |||
| ¿Cuál es el área de un rectángulo que mide 23 pies de largo y 7 pies de ancho?
A) 30 pies
B) 161 pies
C) 161 pies cuadrados
D) 1,421 pies cuadrados
|
La multiplicación se utiliza para resolver muchos tipos de problemas. A continuación hay dos ejemplos que usan la multiplicación en la solución del problema.
| Ejemplo | |||||
| Problema | Una caja de comida para gato tiene dos niveles. Cada nivel tiene 4 filas de 6 latas. ¿Cuántas latas hay en la caja? |
|
| ||
|
| 6 x 4 24 | Primero encuentra el número de latas en un nivel. Usa la multiplicación. |
| ||
|
| 24 x 2 48
| Como hay 2 niveles, debes multiplicar por 2 el número de latas en un nivel. |
| ||
| Respuesta | Hay 48 latas de comida para gato. |
|
| ||
| Ejemplo | ||||||
| Problema | Un teatro tiene 45 filas con 40 asientos cada una. ¿Cuántos asientos hay en total? |
|
| |||
|
| 245 x 40 00 +1800 1,800 | Puedes resolver éste problema sumando 40, 45 veces, pero tomaría mucho trabajo. Mejor utiliza la multiplicación. |
| |||
|
|
|
|
| |||
| Respuesta | Hay 1,800 asientos en el teatro. |
|
| |||
| Un jardinero cobra $35 por cortar un jardín. Si el jardinero corta 32 jardines, ¿cuánto dinero ganó?
A) $9,760
B) $1,120
C) $130.00
D) $67.00
|
Sumario
La multiplicación puede hacer más fácil calcular una suma repetida. La multiplicación se puede escribir usando tres símbolos: paréntesis, una x de multiplicación, o un punto. Para realizar una multiplicación con factores de dos o más dígitos, puedes utilizar el método estándar donde multiplicas cada uno de los números en un factor por los números del otro factor. Con estrategias como multiplicar potencias de 10 y estimación para revisar tus respuestas, puedes hacer la multiplicación más fácil y reducir errores.
