Amplitud y Periodo

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Entender la amplitud y el periodo.

·         Graficar la función seno con cambios en la amplitud y el periodo.

·         Graficar la función coseno con cambios en la amplitud y el periodo.

·         Corresponder una función seno o coseno con su gráfica y vice versa.

 

 

Sabes como graficar las funciones  y . Ahora aprenderás cómo graficar toda la “familia” de las funciones seno y coseno. Estas funciones tienen la forma  o , donde a y b son constantes.

 

 

 

Anteriormente, usamos la variable  para mostrar un ángulo en la posición estándar, y también nos referimos a las funciones seno y coseno como  y . Normalmente las funciones seno y coseno se usan en aplicaciones que no tienen nada que ver con triángulos o ángulos, y la letra x se usa en lugar de  para la entrada (así como para etiquetar el eje horizontal). Entonces, de hoy en adelante, nos referiremos a las mismas funciones como  y . Este cambio no afecta las gráficas.

 

Sabes que las gráficas de las funciones seno y coseno tienen un patrón de lomas y valles que se repiten. La longitud de éste patrón es . Esto es, la gráfica de  ( o ) en el intervalo  se parece a la gráfica en el intervalo  o  o . El patrón continúa infinitamente en ambas direcciones.

 

La gráfica siguiente muestra cuatro repeticiones del patrón de longitud . Cada una contiene exactamente una copia completa del patrón “loma y valle”.

 

 

Si una función tiene un patrón repetitivo como el seno o el coseno, se llama función periódica. El periodo es la longitud del intervalo más pequeño que contiene exactamente una copia del patrón repetido. Entonces el periodo de  o  es . Cualquier parte de la gráfica que muestre éste patrón sobre un periodo se llama ciclo. Por ejemplo, la gráfica de  en el intervalo  es un ciclo.

 

 

Sabes que de graficar funciones cuadráticas de la forma  que conforme cambias el valor de a cambias el “ancho” de la gráfica. Ahora estudiaremos las funciones de la forma  y veremos cómo los cambios en b afectan la gráfica. Por ejemplo, ¿es  periódica?, y si lo es, ¿cuál es el periodo? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.

 

 

Conforme los valores de x van de 0 a , los valores de  van de 0 a . Podemos ver de la gráfica que la función  es una función periódica, y va por un ciclo completo en el intervalo [0, ], entonces su periodo es . Si sustituyes valores de x de  a , los valores de  irían de  a , y  pasarían por otro ciclo completo de la función seno.

 

 

Observa que tiene dos ciclos en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclo completo.

 

 

¿Cuál es el valor positivo más pequeño de x donde  está en su mínimo?   A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. La función tiene un valor mínimo en este punto, pero  no es un valor positivo. La respuesta correcta es .   B) Incorrecto. Seguramente confundiste mínimo y máximo. La respuesta correcta es .   C) Correcto. El valor mínimo para la función seno es . Observa la gráfica de . Muestra éste mínimo al fondo de cada valle. El fondo del primer valle donde x es positiva es en .   D) Incorrecto. Seguramente pensaste que 0 era el valor mínimo, pero la función seno puede tomar valores negativos. La respuesta correcta es .

 

 

¿Cuál es el periodo de la función ? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.

 

 

Conforme los valores de x van de 0 a , los valores de  van de 0 a . Podemos ver de la gráfica que  hace un ciclo completo en el intervalo , por lo que su periodo es .

 

 

Observa que tiene tres ciclos en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclo completo.

¿Cuál es el periodo de la función ? Aquí hay una tabla con algunas entradas y salidas para ésta función.

 

 

Conforme los valores de x van de 0 a , los valores de  van de 0 a .

Podemos ver de la gráfica que  hace un ciclo completo en el intervalo , entonces su periodo es .

 

 

Observa que tiene medio ciclo en el intervalo [0, 2], que es el intervalo necesita para completar un ciclo completo.

 

Pongamos éstos resultados en una tabla. Para las primeras tres funciones hemos reescrito sus periodos con el numerador para que el patrón sea claro. ¿Puedes ver la relación entre la función y el denominador en los periodos?

 

 

En cada caso, el periodo podría encontrarse dividiendo  entre el coeficiente de x. En general, el periodo de  es , y el periodo de  es . Como el periodo es la longitud del intervalo, siempre debe ser un número positivo. Como es posible que b sea un número negativo, debemos usar  en la fórmula para asegurarte que el periodo, , siempre sea un número positivo.

 

El periodo de  o  es .

 

Puedes pensar en los distintos valores de b como teniendo un efecto “acordeón” (o resorte) en las gráficas de seno y coseno. Un valor grande de b las aplasta y un valor pequeño de b las estira.

 

Hay otra manera de describir éste efecto, En el intervalo ,  pasa por un ciclo mientras  pasa por dos ciclos. Si regresas a los ejemplos anteriores, verás que  tiene  ciclos en el intervalo . De la misma manera,  tiene  ciclos en el intervalo .

 

 

 

 

 

Como has visto, las gráficas de las funciones seno y coseno alternan lomas y valles. La altura de una loma (que es igual a la profundidad de un valle) se llama amplitud. Puedes ver que para todas las gráficas que hemos visto hasta ahora, la amplitud ha sido 1.

 

 

La manera formal de decir esto de una función periódica es:

 

 

Sabes que el valor máximo de  o  es 1 y el valor mínimo de ambas es . Entonces si aplicas la definición anterior, obtienes:

 

 

El resultado concuerda con lo que ya habías observado en la gráfica.

 

Has visto que cambiar el valor de b en  o  estira o comprime la gráfica como un acordeón o un resorte, pero no cambia los valores máximo ni mínimo. Para todas estas funciones, el máximo es 1 y el mínimo . Entonces si aplicas la definición de amplitud, estarías haciendo exactamente el mismo cálculo que hicimos anteriormente. La amplitud de cualquiera de estas funciones es 1.

 

Veamos un tipo distinto de cambio en una función graficando la función . Aquí hay una tabla con algunos valores de ésta función.

 

 

Tomaremos la primera y la tercer columna para llenar la gráfica y luego extender el patrón a la izquierda y a la derecha.

 

 

Ahora puedes usar ésta gráfica en el siguiente ejemplo.

 

 

 

 

Comparemos la gráfica de ésta función con la gráfica de la función seno.

 

 

El efecto de multiplicar  por 2 es estirar la gráfica verticalmente por un factor de 2. Como ha sido estirada en la vertical por éste factor; la amplitud es el doble, o 2. Si hubiéramos usado , la gráfica hubiera sido estirada verticalmente por un factor de 3, y la amplitud de ésta función es 3. Una vez más, esto es igual a l coeficiente de la función. En general, tenemos la siguiente regla.

 

La amplitud de  o  es .

 

Como último ejemplo, , muestra que multiplicar por una constante afecta la amplitud. Si multiplicas por una constante por fuera y por dentro, como en , vas a afectar la amplitud y el periodo. Aquí hay una gráfica de :

 

 

 

 

 

En este ejemplo, pudiste haber encontrado el periodo observando la gráfica anterior. Se muestra un ciclo completo, por ejemplo, en el intervalo , entonces el periodo es .

 

En las funciones  y , multiplicar por una constante sólo afecta la amplitud, no el periodo. Como dijimos antes, cambiar el valor de b sólo afecta el periodo, no la amplitud. El resultado general es como sigue.

 

La amplitud de  o  es .   El periodo de  o  es .

 

Para ayudarte a entender los cambios en la amplitud y el periodo para ambas funciones seno y coseno, intenta con el siguiente ejemplo interactivo:

 

 

 

¿Cuál es la amplitud y el periodo de ?   A) La amplitud es , y el periodo es . B) La amplitud es , y el periodo es . C) La amplitud es 1, y el periodo es . D) La amplitud es 1, y el periodo es .   Mostrar/Ocultar Respuesta A) La amplitud es , y el periodo es . Correcto. En esta función, , que es la amplitud. El periodo es igual a .   B) La amplitud es , y el periodo es . Incorrecto. La amplitud es correcta, pero no el periodo. Probablemente multiplicaste  por 4 en lugar de dividir. La respuesta correcta es A.   C) La amplitud es 1, y el periodo es . Incorrecto. El periodo es correcto, pero no la amplitud. Seguramente creíste que la amplitud es el máximo menos el mínimo, pero es la mitad de esto. La respuesta correcta es A.   D) La amplitud es 1, y el periodo es . Incorrecto. Seguramente pensaste que la amplitud es el máximo menos el mínimo, pero es la mitad de esto. Probablemente multiplicaste  por 4, en lugar de dividir, para encontrar el periodo. La respuesta correcta es A.

 

 

 

Sabes que la función  tiene amplitud  y periodo . Puedes usar estos hechos para dibujar la gráfica de cualquier función en la forma  empezando con la gráfica de  y modificándola.

 

Por ejemplo, supongamos que quieres graficar . Como , ésta función tiene el mismo periodo que . Ya que , la amplitud es 4. Entonces, tomarías la gráfica de  y simplemente la estiras verticalmente por un factor de 4. Aquí hay un ciclo para estas dos funciones.

 

 

Nota que los puntos que estaban en el eje-x “se quedan” en el eje-x. En estos puntos (donde ), el valor de  es 0. Si multiplicas 0 por 4 (u otra cosa), seguirás teniendo el valor de 0. Entonces los puntos siguen en el eje-x. Por otro lado, los puntos más alto y más bajo se han alejado del eje-x. Tienen valores en y de 1 y  para , y tienen valores en y de 4 y  para .

 

 

 

 

Si quieres revisar éstas gráficas con una calculadora graficadora, asegúrate de que la pantalla tenga los parámetros correctos. Para el último ejemplo, usarías  y . En general, querrías ajustar los valores de x para mostrar un ciclo completo y los valores de y para la amplitud.

 

Si los valores de a y b son distintos de 1, entonces necesitas combinar los efectos de los dos cambios.

 

 

 

 

Algunas veces necesitas estirar la gráfica de la función seno, y a veces necesitas comprimirla.

 

 

 

 

Incluso sin saber el valor específico de una constante, a veces puedes reducir las posibilidades de la forma de una gráfica.

 

 

La gráfica de una función , donde a es la constante, se dibuja en el intervalo .   ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser la gráfica?   A)                                                               B)                  C)                                                               D)                  Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Ésta tiene la forma y el periodo correctos, pero está en la posición equivocada. Sin importar el valor de a, la gráfica debe pasar por el eje-x en , y no sucede así. La respuesta correcta es D.   B) Incorrecto. Ésta es la gráfica de la función coseno. Sin importar el valor de a, la gráfica debe pasar por el eje-x en . La respuesta correcta es D.   C) Incorrecto. Como el coeficiente de x es 1, la gráfica debería tener un periodo de , pero ésta gráfica tiene un periodo de . La respuesta correcta es D.   D) Correcto. Como el coeficiente de x es 1, la gráfica tiene un periodo de . El factor a podría estirar o comprimir la gráfica, pero debe seguir pasando por el eje-x en los puntos .

 

 

 

Sabes que la función  tiene amplitud  y periodo . De la misma forma que hicimos con las funciones seno, puedes usar éstos hechos para dibujar la gráfica de cualquier función en la forma  empezando con la gráfica de  y modificándola.

 

Por ejemplo, supongamos que quieres graficar . Como , tiene la misma amplitud que . Y, como , el periodo está dado por:

 

 

Como es el doble del periodo de , tomarías la gráfica de  y la estirarías horizontalmente por un factor de 2. Aquí vemos una comparación de ambas gráficas.

 

 

 

Observa que en el intervalo , la gráfica de  tiene un ciclo completo. Como , la gráfica de  tiene  de un ciclo en ese intervalo.

 

Si usas una calculadora graficadora, necesitas ajustar los parámetros de cada gráfica para obtener una ventana que muestra todas las características de la gráfica. Por ejemplo, usarías  y . En general, probablemente querrías ajustar los valores de x para mostrar un ciclo completo y los valores de y para mostrar los puntos alto y bajo. En el siguiente ejemplo, usarías  y  para la ventana de la gráfica porque se te pide graficar en el dominio  y la gráfica tendrá una amplitud de 2, que iría desde -2 hasta +2.

 

 

 

 

Una vez más, si los valores de a y b son distintos de 1, necesitas combinar los efectos de los dos cambios, En el siguiente ejemplo, habrá una variación que no habías visto antes. Hasta ahora, todos los valores de b han sido números racionales, pero aquí estamos usando el número irracional . Esta situación realmente no cambia el procedimiento, pero verás que cambia la escale del eje-x de una manera distinta.

 

 

 

 

En los dos ejemplos anteriores ( y ) viste que el signo negativo afuera (un valor negativo de a) tiene el efecto de voltear la gráfica sobre el eje-x. En el siguiente ejemplo, verás el efecto del signo negativo cuando está “dentro” (un valor negativo de b).

 

Una última pista: además de intentar encontrar el efecto general del valor de a o b en la gráfica, podrías también querer revisar puntos específicos. Por ejemplo, simplemente sustituye  en la función y ve dónde queda ese punto.

 

 

¿Cuál de las siguientes opciones es la gráfica de  en el intervalo ?   A)                                                            B)                  C)                                                            D)                  Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Ésta es la gráfica de . Recuerda revisar puntos específicos como . En ese punto, . Entonces el punto  debería estar en la gráfica. La respuesta correcta es C.   B) Incorrecto. Confundiste los efectos de a y b. Ésta es la gráfica de . La respuesta correcta es C.   C) Correcto. El valor de a es , que va a estirar la gráfica verticalmente por un factor de . El periodo de la gráfica es , al igual que el periodo de . El efecto del signo negativo adentro es reemplazar los valores de x por sus opuestos. Esto volteará la gráfica sobre el eje-y. Sin embargo, como la gráfica del coseno es simétrica en el eje-y, esto no tiene ningún efecto. Entonces el único cambio en la gráfica de  es estirarla verticalmente.   D) Incorrecto. Ésta gráfica tiene el periodo y la amplitud correctos. Sin embargo, confundiste el efecto del signo negativo que va adentro con el signo negativo que va afuera. La respuesta correcta es C.

 

 

 

Dada una función en la forma  o , sabes cómo encontrar la amplitud y el periodo y cómo usar ésta información para graficar las funciones.

 

Dada una gráfica de una función seno o coseno, también puedes determinar la amplitud y el periodo de la función. A partir de ésta información, puedes encontrar los valores de a y b, y luego una función que corresponda a la gráfica.

 

Recuerda que junto con encontrar la amplitud y el periodo, es buena idea observar lo que pasa en . Si a y b son constantes distintas de cero, las funciones  y  tendrán los siguientes valores en :

 

 

Esto te dice que la gráfica de  pasa por  sin importar los valores de a y b, y la gráfica de  nunca pasa por  sin importar los valores de a y b. Entonces, por ejemplo, si te dan una gráfica que pasa por el origen y te piden determinar una función que la represente, sabes inmediatamente que no está en la forma de .

 

Necesitas tener cuidado con el signo de a. Podrías determinar que una función tiene una amplitud de 4, por ejemplo. Aunque es posible que , también es posible que . Aquí hay un ejemplo de cada una de éstas posibilidades.

 

 

Necesitarás comparar la gráfica con la de  o  para ver si, además de estirar o comprimir, ha ocurrido una reflexión en el eje-x. La gráfica anterior en la derecha puede pasar como un resultado de estirar y reflejar la gráfica de por el eje-x. Si ha habido una reflexión, entonces el valor de a será negativo. Una vez que has determinado si a es positivo o negativo, puedes escoger un valor positivo para b.

 

Aquí hay algunos ejemplos de éste proceso.

 

 

 

 

 

 

Asegúrate de que reconoces dónde comienza y termina un ciclo, El periodo es la longitud del intervalo por el que corre el ciclo.

 

 

¿Cuál de las siguientes funciones está representada por la gráfica siguiente?     A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Reconociste correctamente la gráfica como la reflexión de la función seno, pero el periodo es incorrecto. Tal vez viste  a la derecha y lo usaste como la longitud de un ciclo. Sin embargo, toda la gráfica es un ciclo, y el periodo es igual a . La respuesta correcta es D.   B) Incorrecto. Encontraste correctamente la amplitud y el periodo de la función seno. Sin embargo, también necesitas revisar la orientación de la gráfica. Observa que a la derecha del eje-y tienes un valle en lugar de una loma. La respuesta correcta es D.   C) Incorrecto. Encontraste correctamente la amplitud y la orientación de la función seno. Sin embargo, el periodo es incorrecto. Tal vez reconociste que el periodo de la gráfica es el doble del periodo de , y pensaste que el valor de b sería 2. Pero para encontrar el valor de b, debes tomar el periodo igual a . La respuesta correcta es D.   D) Correcto. La gráfica pasa por el origen, entonces la función puede tener la forma , pero no . La amplitud es 1. La gráfica tiene un valle a la derecha, lo que puede ser el resultado de una reflexión de  sobre el eje-x. Entonces, . La gráfica muestra un ciclo, por lo que el periodo es . Como , el valor de b podría ser . Entonces esto podría ser la gráfica de .

 

 

Recuerda que cuando escribes una función puedes usar la notación  en lugar de la variable y.

 

 

¿Cuál de las siguientes gráficas representa ?   A)                                                                B)             C)                                                                D)                      Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. Ésta es la gráfica de una función con la forma . Recuerda comprobar el valor de la función en . Como , la función  pasa por , y no por el origen como se muestra en ésta gráfica. La respuesta correcta es B.   B) Correcto. Primero, ésta gráfica tiene la forma de la función coseno. Segundo, como  en la ecuación, la amplitud es 3. Finalmente, como , el periodo de la función es . La gráfica en ésta respuesta hace un ciclo completo entre y  entonces el periodo es como se pide. C) Incorrecto. Ésta gráfica tiene la forma de la función coseno, y la amplitud es 3, lo cual es correcto. Sin embargo, el periodo es incorrecto. Probablemente multiplicaste  por  en lugar de dividir. La respuesta correcta es B.   D) Incorrecto. La gráfica tiene la forma de la función coseno. Sin embargo, al determinar la gráfica, parece que cambiaste los valores de a y b. La respuesta correcta es B.

 

 

 

Las funciones  y  son funciones periódicas: sus gráficas tienen un patrón repetido de lomas y valles que continúa infinitamente en ambas direcciones. La altura de una loma o la profundidad de un valles se llama amplitud, y es igual a .Cualquier patrón completo en la gráfica se llama ciclo, y la longitud de un intervalo en donde ocurre un ciclo se llama periodo. El periodo es igual al valor .

 

Puedes usar ésta información para graficar cualquiera de estas funciones empezando con la gráfica básica de  o  y luego hacer una combinación de estirar o comprimir la gráfica verticalmente basado en el valor de a, estirar y comprimir la gráfica horizontalmente basado en el valor de b, o reflejándola basado en los signos de a y b.

 

También puedes empezar con una gráfica, determinar los valores de a y b, y luego determinar una función que la represente.