Números complejos

 

Objetivos de aprendizaje

·         Expresar raíces de números negativos en términos de i.

·         Expresar números imaginarios como bi y números complejos como a + bi.

 

Varias veces en tu aprendizaje de las matemáticas, se te han presentado nuevos tipos de números. ¡Cada vez, estos números han hecho posible cosas que parecían imposibles! Antes de que supieras de los números negativos, no podías restar un número mayor de un número menor, pero los números negativos te dejaron hacerlo. Cuando aprendiste a dividir, al principio no podías hacer un problema como dividir 13 entre 5 porque 13 no es un múltiplo de 5. Luego aprendiste a resolver este problema escribiendo tu respuesta como 2 residuo 3. Eventualmente, pudiste expresar la respuesta como . Las fracciones te permitieron encontrarle sentido a esta división.

 

Hasta ahora, sabes que es imposible aplicar la raíz cuadrada a un número negativo. Eso es cierto, usando los números reales. ¡Pero aquí aprenderás sobre un nuevo tipo de número que te permite trabajar con raíces cuadradas de números negativos! Al igual que las fracciones y números negativos, este nuevo tipo de número te dejará hacer cosas que antes creías imposible.

 

Sólo necesitas un nuevo número para empezar a trabajar con raíces cuadradas de números negativos. Ese número es la raíz cuadrada de −1, . Los números reales son aquellos que aparecen en una recta numérica — ¡nos parecen bastante reales! Cuando algo no es real, normalmente lo llamamos imaginario. Entonces llamemos así a este nuevo número i y lo usaremos para representar la raíz cuadrada de −1.

 

 

Ya que , también podemos ver que  o . También sabemos que , entonces podemos concluir que .

 

 

El número i nos permite trabajar con las raíces de todos los números negativos, no sólo . Hay dos reglas importantes a recordar: y . Usarás estas reglas para reescribir la raíz cuadrada de un número negativo como la raíz cuadrada de un número positivo multiplicada por . Luego vas a simplificar la raíz cuadrada y reescribir  como i. Intentemos un ejemplo.

 

 

 

 

 

 

 

 

Pudiste haber querido simplificar  usando diferentes factores. Algunos de ellos te llevarían a reescribir este radical como , o , o  por ejemplo. Cada uno de estos radicales eventualmente te habrían llevado a la misma respuesta de .

 

Reescribiendo la raíz cuadrada de un número negativo   ·         Encontrar los cuadrados perfectos del radical. ·         Reescribir el radical usando la regla . ·         Reescribir  como i.   Ejemplo:

 

 

Simplificar.   A) 5   B)   C) 5i   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 5 Incorrecto. Habrás notado que el cuadrado perfecto 25 es un factor de 50, pero olvidaste el resto del número dentro del radical. La respuesta correcta es:   B) Incorrecto. Si bien , el negativo dentro del radical no se puede mover fuera del radical. Recuerda, . La respuesta correcta es:   C) 5i Incorrecto. Notaste correctamente que el cuadrado perfecto 25 es factor de 50 y usaste correctamente , pero olvidaste el factor de −50, que es 2. La respuesta correcta es:   D) Correcto.

 

 

Puedes crear otros números multiplicando i por un número real. Un número imaginario es cualquier número de la forma bi, donde b es real (pero no 0) y i es la raíz cuadrada de −1. Observa los siguientes ejemplos y nota que b puede ser cualquier número real (positivo, negativo, entero, racional, irracional), pero no 0. (Si b es 0, 0i sólo sería 0, un número real.)

 

 

Puedes usar las operaciones normales (suma, resta, multiplicación, etc.) con los números imaginarios. Verás más que eso, después. Cuando sumas un número real a un número imaginario, obtienes un número complejo. Un número complejos es cualquier número con la forma a + bi, donde a es un número real y bi es un número imaginario. El número a se llama la parte real del número complejo y bi es la parte imaginaria.

 

 

En un número con un radical como parte de b, como  , el i imaginario se escribe enfrente del radical. Si bien escribir este número como  es técnicamente correcto, es más difícil saber si i está dentro o fuera del radical. Ponerlo enfrente del radical, como en , elimina cualquier confusión. Veamos algunos ejemplos.

 

 

Al hacer b = 0, cualquier número real puede expresarse como un número complejo. El número real a se escribe como a + 0i en su forma compleja. De manera similar, cualquier número imaginario puede expresarse como un número complejo. Haciendo a = 0, cualquier número imaginario bi se escribe 0 + bi en forma compleja.

 

 

 

 

 

 

¿Cuál es la parte real del número complejo −35 + 9i?   A) 9   B) −35   C) 35   D) 9 y −35   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 9 Incorrecto. El número 9 esté en la parte imaginaria (9i) de este número complejo. En un número complejo a + bi, la parte real es a. En este caso, a = −35, por lo que la parte real es −35.   B) −35 Correcto. En un número complejo a + bi, la parte real es a. En este caso, a = −35, por lo que la parte real es −35.   C) 35 Incorrecto. En un número complejo a + bi, la parte real es a. En este caso, a = −35, por lo que la parte real es −35. La parte real puede ser cualquier número real, incluyendo números negativos.   D) 9 y −35 Incorrecto. El número 9 esté en la parte imaginaria (9i) de este número complejo. En un número complejo a + bi, la parte real es a. En este caso, a = −35, por lo que la parte real es sólo −35.

 

 

Los números complejos tienen la forma a + bi, donde a y b son números reales y i es la raíz cuadrada de −1. Todos los números pueden escribirse como un número complejo haciendo b = 0. Los números imaginarios tienen la forma bi y también pueden escribirse como un número complejo haciendo a = 0. Las raíces cuadradas de números negativos pueden simplificarse usando  y