Graficando Desigualdades Lineales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Determinar si un par ordenado es una solución de una desigualdad.

·         Graficar una desigualdad en dos variables.

 

 

Las desigualdades lineales pueden graficarse en un plano de coordenadas. Las soluciones de una desigualdad lineal son una región del plano coordenado. Una recta límite, que es la ecuación lineal relacionada, sirve como frontera para la región. Puedes usar una representación visual para encontrar los valores que hacen válida a la desigualdad — y también los que la hacen inválida. Veamos las desigualdades volviendo al plano de coordenadas.

 

 

Las desigualdades lineales son diferentes a las ecuaciones lineales, si bien puedes aplicar lo que sabes sobre ecuaciones para ayudarte a entender las desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son enunciados matemáticos que comparan dos valores. Las ecuaciones usan el símbolo =; las desigualdades se representan con los símbolos <, ≤, >, y ≥.

 

Una manera de visualizar desigualdades de dos variables es graficarlas en el plano de coordenadas. Así es como se ve la desigualdad x > y. La solución es la región sombreada.

 

 

Hay algunas cosas que debemos notar. Primero, observa la recta límite roja y punteada: esta es la gráfica de la ecuación lineal relacionada x = y. Segundo, observa la región roja a la derecha de la recta. Esta región (excluyendo la recta x = y) representa el conjunto de soluciones de la desigualdad x > y. ¿Recuerdas que todos los puntos en la recta son soluciones de la ecuación lineal de una recta? Bueno, todos los puntos en una región son soluciones de la desigualdad lineal que representa esa región.

 

Pensemos en esto un momento — si x > y, entonces una gráfica de x > y mostrará todos los pares ordenados (x, y) donde la coordenada-x es mayor que la coordenada-y.

 

La gráfica de abajo muestra la región x > y así como algunos pares ordenados en el plano de coordenadas. Observa cada par ordenado. ¿Es la coordenada-x mayor que la coordenada-y? ¿Está el par ordenado dentro o fuera de la región sombreada?

 

 

Los pares ordenados (4, 0) y (0, −3) están dentro de la región sombreada. En estos pares ordenados, la coordenada-x es más grande que la coordenada-y. Estos pares ordenados están en el conjunto solución de la ecuación x > y.

 

Los pares ordenados (−3, 3) y (2, 3) están fuera de la región sombreada. En estos pares ordenados, la coordenada-x es más pequeña que la coordenada-y, por lo que no están incluidos en el conjunto solución de la desigualdad.

 

El par ordenado (−2, −2) está en la recta límite. No es una solución porque −2 no es mayor que −2. Sin embargo, si la desigualdad hubiera sido x ≥ y (se lee como “x es mayor o igual que y"), entonces (−2, −2) habría sido incluido (y la recta habría sido representada por una línea sólida, no una línea punteada).

 

Veamos otro ejemplo: la desigualdad 3x + 2y ≤ 6. LA gráfica siguiente muestra la región de valores que vuelve la desigualdad válida (rojo sombreado), la recta límite 3x + 2y = 6, así como un grupo de pares ordenados. Esta vez, a recta límite es sólida, porque puntos en la recta límite 3x + 2y = 6 también son válidos en la ecuación 3x + 2y ≤ 6.

 

 

Como hiciste en el ejemplo anterior, puedes sustituir los valores de x y, y en cada uno de los pares ordenados (x, y), en la desigualdad para encontrar soluciones. Si bien pudiste hacerlo en la mente para la desigualdad x > y, a veces construir una tabla de valores tiene sentido para desigualdades más complicadas.

 

 

Si sustituimos (x, y) en la desigualdad y obtenemos un enunciado válido, entonces el par ordenado es una solución de la desigualdad, y el punto estará graficado dentro de la región sombreada o será parte de la recta límite sólida. Un enunciado falso significa que el par ordenado no es una solución, y el punto estará fuera de la región sombreada, o será parte de una recta límite punteada.

 

 

 

 

 

¿Qué par ordenado es una solución de la desigualdad 2y - 5x < 2?   A) (−5, 1)   B) (−3, 3)   C) (1, 5)   D) (3, 3)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) (−5, 1) Incorrecto. Al sustituir (−5, 1) en 2y – 5x < 2, encuentras que 2(1) – 5(−5) < 2, o 2 + 25 < 2. 27 no es menor que 2, por lo que no puede ser correcto. La respuesta correcta es (3, 3).   B) (−3, 3) Incorrecto. Al sustituir (−3, 3) en 2y – 5x < 2, encuentras que 2(3) – 5(−3) < 2, o 6 + 15 < 2. 21 no es menor que 2, por lo que no puede ser correcto. La respuesta correcta es (3, 3).   C) (1, 5) Incorrecto. Al sustituir (1, 5) en 2y – 5x < 2, encuentras que 2(5) – 5(1) < 2, o 10 – 5 < 2. 5 no es menor que 2, por lo que no puede ser correcto. La respuesta correcta es (3, 3).   D) (3, 3) Correcto. Al sustituir (3, 3) en 2y – 5x < 2, encuentras que 2(3) – 5(3) < 2, o 6 – 15 < 2. Este es un enunciado válido, por lo que es la solución de la desigualdad.

 

 

 

Entonces ¿cómo pasas de la forma algebraica de una desigualdad, como y > 3x + 1, a la gráfica de esa desigualdad? Graficar desigualdades es fácil si sigues un par de pasos.

 

Graficando Desigualdades   Para graficar una desigualdad: o        Grafica la recta límite relacionada. Reemplaza el signo <, >, ≤ o ≥ en la desigualdad por el signo = para obtener la ecuación de la recta límite.   o        Identifica por lo menos un par ordenado en cada lado de la recta límite y sustituye esos valores (x, y) en la desigualdad. Sombrea la región que contiene los pares ordenados que hacen válida la desigualdad.   o        Si hay puntos en la recta límite que son soluciones, entonces usa una línea sólida para representar la recta límite. Esto pasará con las desigualdades ≤ o ≥.   o        Si hay puntos en la recta límite que no son soluciones, entonces usa una línea punteada para representar la recta límite. Esto pasará con las desigualdades < o >.

 

Grafiquemos la desigualdad x + 4y ≤ 4.

 

Para graficar la recta límite, encuentra por lo menos dos valores que estén en la recta x + 4y = 4. Puedes usar las intersecciones en xy, después para esta ecuación primero sustituye 0 por x, cuando encuentres el valor de y; sustituye 0 por el valor de y, entonces encuentra x.

 

 

Grafica los puntos (0, 1) y (4, 0), y dibuja una recta que pase por esos dos puntos para la recta límite. La línea es sólida porque ≤ significa “menor o igual que,” por lo que todos los pares ordenados sobre la recta están incluidos en el conjunto solución.

 

 

 

 

El siguiente paso es encontrar la región que contiene las soluciones. ¿Está arriba o abajo de la recta límite? Para identificar la región donde la desigualdad es válida, puedes probar con un par de pares ordenados, uno en cada lado de la recta límite.

 

Si sustituyes (−1, 3) en x + 4y ≤ 4:

 

−1 + 4(3) ≤ 4

−1 + 12 ≤ 4

11 ≤ 4

 

Este es un enunciado falso, porque 11 no es menor o igual que 4.

 

Por otro lado, si sustituyes (2, 0) en x + 4y ≤ 4:

 

2 + 4(0) ≤ 4

2 + 0 ≤ 4

2 ≤ 4

 

¡Esto es válido! La región que incluye (2, 0) debe ser sombreada, porque es la región de soluciones.

 

 

Y ya lo tienes — la gráfica del conjunto de soluciones de x + 4y ≤ 4.

 

 

 

 

Una nota rápida sobre el problema anterior. Observa que puedes usar los puntos (0, −3) y (2, 1) para graficar la recta límite, ¡pero estos puntos no están incluidos en la región de soluciones, porque la región no incluye la recta límite!

 

 

¿Cómo se ve la gráfica de y ≥ x graficada en el plano de coordenadas?   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Correcto. La recta límite aquí es y = x, y la región sobre la recta está sombreada. Cada par ordenado dentro de esta región va a satisfacer la desigualdad y ≥ x.   B) Incorrecto. La recta límite aquí es y = x, y la región sobre la recta está sombreada, pero recuerda que una recta punteada se usa para < y >. La desigualdad que estás graficando y ≥ x, por lo que la recta límite debería ser sólida. La respuesta correcta es la gráfica A.   C) Incorrecto. La recta límite aquí es correcta, pero has sombreado la región incorrecta y usado la recta errónea. Los puntos dentro de la región sombreada satisfacen la desigualdad y < x, y no y ≥ x. La respuesta correcta es la gráfica A.   D) Incorrecto. La recta límite aquí es correcta, pero has sombrado la región incorrecta. Los puntos en esta región satisfacen la desigualdad y ≤ x, y no y ≥ x. La respuesta correcta es la gráfica A.

 

 

 

Cuando se grafican las desigualdades en un plano de coordenadas, las soluciones están localizadas en una región del plano coordenado, que está representada por un área sombreada. La recta límite para la desigualdad se dibuja como una línea sólida si los puntos en la recta satisfacen la desigualdad, como en los casos de ≤ y ≥. Se dibuja como una línea punteada si los puntos en la recta no satisfacen la desigualdad, como en los casos de < y >. Puedes saber qué región sombrear probando algunos puntos en la desigualdad. Usar el plano de coordenadas es especialmente útil para visualizar la región de soluciones para las desigualdades con dos variables.