Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas por Medio de la Factorización

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones en forma factorizada usando el Principio del Producto Cero.

·         Resolver ecuaciones cuadráticas factorizando y usando el Principio del Producto Cero.

·         Resolver problemas de aplicación que impliquen ecuaciones cuadráticas.

 

Introducción

 

Cuando un polinomio es igual a un valor (ya sea un entero u otro polinomio), el resultado es una ecuación. Una ecuación que puede escribirse de la forma ax2 + bx + c = 0 se llama ecuación cuadrática. Puedes resolver una ecuación cuadrática usando las reglas del álgebra, aplicando técnicas de factorización cuando es necesario, y usando el Principio del Producto Cero.

 

El Principio del Producto Cero

 

El Principio del Producto Cero dice que si el producto de dos números es 0, entonces por lo menos uno de los factores es 0 (Esto no es nada nuevo.)

 

Principio del Producto Cero

 

Si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0.

 

 

Esta propiedad podría parecer obvia, pero tiene grandes implicaciones para al resolver ecuaciones cuadráticas. Si tenemos un polinomio factorizado que está igualado a 0, sabes que por lo menos uno de los factores o ambos es 0.

 

Puedes usar este método para resolver ecuaciones cuadráticas. Empecemos con una que ya este factorizada.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver (x + 4)(x – 3) = 0 para x.

 

 

 

(x + 4)(x – 3) = 0

Aplicando el Principio del Producto Cero, sabes que si el producto es 0, entonces uno o ambos factores deben ser 0.

 

 x + 4 = 0          o       x – 3 = 0

Iguala a 0 cada factor.

 

x + 4 – 4 = 0 – 4        x – 3 + 3 = 0 + 3

      x = −4         o             x = 3

Resuelve cada ecuación.

Respuesta

x = −4  OR  x = 3

 

 

 

Puedes comprobar estas soluciones sustituyendo una por una en la ecuación original, (x + 4)(x – 3) = 0. También puedes intentar con otro número para ver qué pasa.

 

Comprobando x = −4

Comprobando x = 3

Probando x = 5

(x + 4)(x – 3) = 0

(x + 4)(x – 3) = 0

(x+ 4)(x – 3) = 0

(−4 + 4)(−4 – 3) = 0

(3 + 4)(3 – 3) = 0

(5 + 4)(5 – 2) = 0

(0)( −7) = 0

(7)(0) = 0

(9)(3) = 0

0 = 0

0 = 0

27 ≠ 0

 

Los dos valores que encontramos por medio de la factorización, x = −4 y x = 3, nos llevan a los enunciados válidos: 0 = 0. Entonces, las soluciones son correctas. Pero x = 5, el valor encontrado sin factorizar, crea un enunciado inválido — ¡27 no es igual a 0!

 

 

Resolver x.

 

(x – 5)(2x + 7) = 0

 

A) x = 5 o

 

B) x = 5 o −7

 

C) x = 0 o

 

D) x = 0

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) x = 5 o

Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, aplica el Principio del Producto Cero e iguala cada factor, (x – 5) y (2x + 7), a 0. x – 5 = 0, so x = 5; también encuentras que 2x + 7 = 0, entonces 2x = −7, y x = . Ambas respuestas, x = 5 y , son soluciones.

 

B) x = 5 o −7

Incorrecto. Si bien x = 5 vuelve válida la ecuación, el Principio del Producto Cero dice que si (x – 5)(2x + 7) = 0 entonces ya sea que x – 5 = 0 o 2x + 7 = 0. Esto pasa cuando x = 5 o.

 

C) x = 0 o

Incorrecto. Si bien x =  vuelve válida la ecuación, el Principio del Producto Cero dice que si (x – 5)(2x + 7) = 0 entonces ya sea que x – 5 = 0 o 2x + 7 = 0. Esto pasa cuando x = 5 o.

 

D) x = 0

Incorrecto. Un valor de x = 0 no vuelve la válida la ecuación: (0 – 5)[2(0) + 7] =
(−5)(7) = −35, no 0. El Principio del Producto Cero dice que si (x – 5)(2x + 7) = 0 entonces ya sea que x – 5 = 0 o 2x + 7 = 0. Esto pasa cuando x = 5 o.

 

 

 

Resolviendo Cuadráticas

 

Intentemos resolver una ecuación que se vea un poco distinta: 5a2 + 15a = 0.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver a:  5a2 + 15a = 0.

 

 

5a2 + 15a = 0

Empieza factorizando el lado izquierdo de la ecuación.

 

5a(a + 3) = 0

Saca el factor 5a, que es factor común de 5a2 y 15a.

 

5a = 0       o

a + 3 = 0

Iguala a cero cada factor.

 

       o

   a = 0

a + 3 – 3 = 0 – 3

        a = −3

Resuelve cada ecuación.

Respuesta

a = 0  OR  a = −3

 

 

 

Para comprobar tus respuestas, puedes sustituir ambos valores directamente en la ecuación original y ver si obtienes un enunciado válido para cada uno.

 

Comprobando a = 0

Comprobando a = −3

5a2 + 15a = 0

5a2 + 15a = 0

5(0)2 + 15(0) = 0

5(−3)2 + (15)(−3) = 0

5(0) + 0 = 0

5(9) – 45 = 0

0 + 0 = 0

45 – 45 = 0

0 = 0

0 = 0

 

Ambas soluciones son correctas.

 

Puedes usar el Principio del Producto Cero para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0. Primero factoriza la expresión, y luego iguala a 0 cada factor.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver r:   r2 – 5r + 6 = 0.

 

 

r2 – 3r +  −2r + 6 = 0

 

 

Reescribe −5r como −3r – 2r, ya que

(−3)(−2) = 6, y −3 + −2 = −5.

 

(r2 – 3r) + (−2r  +  6) = 0

 

 

Agrupa en pares.

 

r(r – 3) – 2(r – 3) = 0

 

 

Saca el factor r del primer par y el factor −2 del segundo par.

 

(r – 3)(r – 2) = 0

 

Saca el factor (r – 3).

 

r – 3 = 0      o

r – 2 = 0

Usa el Principio del Producto Cero para igualar a 0 cada factor.

 

    r = 3        o

  r  = 2

Resuelve cada ecuación.

 

Respuesta

 

r = 3  OR  r = 2

 

Las raíces de la ecuación original son 3 y 2.

 

 

Observa en el ejemplo anterior, si el factor común 2 hubiera sido factorizado, el resultado hubiera sido (−r + 3), que es el negativo de (r – 3). Entonces sacar el factor −2 resultará en el factor común (r – 3). Si hubiéramos obtenido (−r + 3) como factor, entonces al igualar a cero el factor y resolver r hubiéramos obtenido:

 

(−r + 3) = 0

Principio del Producto Cero

(−1)(−r + 3) = (−1)0

Multiplicando ambos lados por −1.

r − 3  = 0

Multiplicando.

r  = 3

Sumando 3 a ambos lados.

 

Más trabajo, pero el mismo resultado que antes, r = 3 o r = 2.

 

 

Resolver h: h(2h + 5) = 0.

 

A) h = 0

 

B) h = 2 o 5

 

C) h = 0 o

 

D) h = 0 o

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) h = 0

Incorrecto. Si bien h = 0 hace válida la ecuación (porque el primer factor es h), existe otra solución cuando 2h + 5 = 0. La respuesta correcta es h = 0 o .

 

B) h = 2 o 5

Incorrecto. El Principio del Producto Cero dice que si h(2h + 5) = 0 entonces ya sea que h = 0 o 2h + 5 = 0. Esto sucede cuando h = 0 o.

 

C) h = 0 o

Incorrecto. Si bien h = 0 hace válida la ecuación (porque el primer factor es h), el segundo factor es 0 cuando h = , no . La respuesta correcta es h = 0 o .

 

D) h = 0 o

Correcto. Para encontrar las raíces de esta ecuación, aplica el Principio del Producto Cero e iguala a 0 cada factor, h y (2h + 5). Luego resuelve esas ecuaciones para h. Ambas respuestas son posibles soluciones.

 

 

 

Aplicando Ecuaciones Cuadráticas

 

Existen muchas aplicaciones para las ecuaciones cuadráticas. Cuando usas el Principio del Producto Cero para resolver una ecuación cuadrática, necesitas asegurarte de que la ecuación es igual a cero. Por ejemplo, 12x2 + 11x + 2 = 7 primero debe cambiarse a 12x2 + 11x + −5 = 0 restando 7 de ambos lados.

 

Ejemplo

Problema

El área de un jardín rectangular mide 30 pies cuadrados. Si el largo mide 7 pies más que el ancho, encuentra las dimensiones.

 

A = l • w

 

 

 

30 = (w + 7)(w)

 

La fórmula del área de un rectángulo es A = l • w.

 

largo = w

ancho = w + 7

área = 30

 

 

30 = w2 + 7w

 

Multiplica.

 

w2 + 7w – 30 = 0

 

Resta 30 de ambos lados para igualar a 0 la ecuación.

 

w2 + 10w – 3w – 30 = 0

 

Encuentra dos números cuyo producto sea −30 y cuya suma sea 7, y escribe el término central como 10w – 3w.

 

w(w + 10) – 3(w + 10) = 0

 

Saca el factor w del primer par y el −3 del segundo par.

 

(w – 3)(w + 10) = 0

 

Saca el factor w + 10.

 

w – 3 = 0

w = 3

o        w + 10 = 0

o            w = −10

 

Usa el Principio del Producto Cero para resolver w.

 

El ancho = 3 pies

 

 

 

 

 

El largo es 3 + 7 = 10 pies

 

La solución w = −10 no funciona para esta aplicación, porque el ancho no puede ser un número negativo, descartamos el −10. Entonces, el ancho es 3 pies.

 

Sustituye w = 3 en la expresión w + 7 para encontrar el largo: 3 + 7 = 10.

Respuesta

El ancho del jardín mide 3 pies, y el largo mide 10 pies.

 

 

El ejemplo siguiente muestra otra ecuación cuadrática donde ningún lado es originalmente igual a cero. (Observa que la secuencia de factorización ha sido reducida.)

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver 5b2 + 4 = −12b para b.

 

 

 

5b2 + 4 + 12b = −12b + 12b

 

La ecuación original tiene
−12b a la derecha. Para hacer este lado igual a 0, suma 12b a ambos lados.

 

5b2 + 12b + 4 = 0

 

Combina los términos semejantes.

 

5b2 + 10b + 2b + 4 = 0

 

Reescribe 12b como 10b + 2b.

 

 

5b(b + 2) + 2(b + 2) = 0

 

Saca el factor 5b del primer par y el 2 del segundo par.

 

(5b + 2)(b + 2) = 0

 

Saca el factor b + 2.

5b + 2 = 0     o     b + 2 = 0

 

Aplica la Propiedad del Producto Cero.

       o     b = −2

 

Resuelve la ecuación.

Respuesta

   OR   b= = −2

 

 

 

Si sacas una constante como factor, la constante nunca será igual a 0. Por lo que la puedes ignorar al resolver. Observa el siguiente ejemplo.

 

 

Ejemplo

Problema

Se lanza un pequeño cohete de juguete de un pedestal de 4 pies. La altura (h, en pies) del cohete t segundos después del despegue está dada por la fórmula h = −2t2 + 7t + 4. ¿Cuánto tardará el cohete en tocar tierra?

 

h = −2t2 + 7t + 4

 

 

 

0 = −2t2 + 7t + 4

 

El cohete estará en el suelo cuando la altura sea 0. Entonces, sustituye 0 por h en la fórmula.

 

0 = −2t2 + 8t – t + 4

 

Agrupa para factorizar el trinomio.

 

0 = −2t(t – 4) – 1(t – 4)

0 = (−2t − 1)(t – 4)

0 = −1(2t + 1)(t – 4)

 

Factoriza.

 

  2t + 1 = 0   o       

t – 4 = 0

Usa la Propiedad del Producto Cero. No hay necesidad de igualar el factor constante -1 a cero, porque -1 nunca será igual a cero.

 

          t  =    o      t = 4

 

Resuelve cada ecuación.

 

                                t = 4

 

Interpreta la respuesta. Como t representa el tiempo, no puede ser un número negativo: sólo t = 4 tiene sentido en este contexto.

Respuesta

El cohete tocará tierra a los 4 segundos de haber despegado.

 

 

Resolver m: 2m2 + 10m = 48.

 

A) m = −8 o 3

 

B) m = −3 o 8

 

C) m = 0 o −5

 

D) m = 0 o 5

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) Correcto.

La ecuación original tiene 48 a la derecha. Para igualar este lado a 0, resta 48 de ambos lados: 2m2 + 10m – 48 = 0. Luego saca el factor común, 2:

2(m2 + 5m – 24) = 0. Luego iguala a 0 el trinomio y resuelve m. Encuentras que

2(m + 8)(m – 3) = 0, entonces m = −8 o 3.

 

B) Incorrecto.

Probablemente factorizaste incorrectamente la cuadrática o resolviste incorrectamente las ecuaciones individuales. La respuesta correcta es m = −8 o 3.

 

C) Incorrecto.

Probablemente factorizaste 2m2 + 10m as 2m(m + 5) y luego igualaste a 0 los factores. Sin embargo, la ecuación original no es igual a 0, es igual a 48. Para usar la Propiedad del Producto Cero, un lado debe ser 0. La respuesta correcta es m = −8 o 3.

 

D) Incorrecto.

Probablemente factorizaste 2m2 + 10m as 2m(m + 5) y luego igualaste a 0 los factores, así como pudiste haber cometido un error con el signo cuando resolviste m + 5=0. Sin embargo, la ecuación original no es igual a 0, es igual a 48. Para usar la Propiedad del Producto Cero, un lado debe ser 0. La respuesta correcta es m = −8 o 3.

 

 

 

Sumario

 

Puedes encontrar las soluciones, o raíces, de ecuaciones cuadráticas igualando a cero un lado, factorizando el polinomio, y luego aplicando la Propiedad del Producto Cero. La Propiedad del Producto Cero dice que si ab = 0, entonces a = 0 o b = 0, o ambos a y b son 0. Una vez que el polinomio ha sido factorizado, iguala cada factor a cero y resuelve separadamente. Las respuestas serán el conjunto de soluciones para la ecuación original..

 

No todas las respuestas son apropiadas para algunas aplicaciones. En muchas situaciones del mundo real, las soluciones negativas no son apropiadas y deben descartarse.