Casos Especiales: Cubos
Objetivos de Aprendizaje
· Factorizar la suma de cubos.
· Factorizar la resta de cubos.
Introducción
En muchos sentidos, factorizar es cuestión de patrones — si reconoces los patrones que forman los números cuando se multiplican unos con otros, puedes usar esos patrones para separar esos números en sus factores individuales.
Algunos patrones interesantes surgen cuando estás trabajando con cantidades al cubo en polinomios. Específicamente, hay otros dos casos especiales a considerar: a3 + b3 y a3 – b3.
Veamos cómo factorizar sumas y restas de cubos.
El término “al cubo” se usa para describir un número elevado a una potencia de tres. En geometría, un cubo es una figura de seis lados con todos sus lados iguales; el volumen de un cubo con lado x puede representarse como x3. (¡Observa el exponente!)
Los números al cubo crecen muy rápido. 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, y 53 = 125.
Antes de ver la factorización de la suma de dos cubos, observemos los factores posibles.
Resulta que a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2). Revisemos estos factores multiplicando.
| ¿(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3? | |
| (a)(a2 – ab + b2) + (b)(a2 – ab +b2) | Aplica la propiedad distributiva. |
| (a3 – a2b + ab2) + (b)(a2 - ab + b2) | Multiplica por a.
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| (a3 – a2b + ab2) + (a2b – ab2 + b3) | Multiplica por b.
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| a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3 | Reorganiza los términos para combinar los términos semejantes. |
| a3 + b3 | Simplifica |
¿Viste eso? Cuatro de los términos se cancelaron, dejándonos con el (aparente) binomio simple a3 + b3. Entonces, los factores son correctos.
Puedes usar este patrón para factorizar binomios de la forma a3 + b3, también conocidos como “la suma de cubos.”
| La Suma de Cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2).
Ejemplo: La forma factorizada de x3 + 64 es (x + 4)(x2 – 4x + 16). La forma factorizada de 8x3 + y3 es (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).
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| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar x3 + 8y3. |
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| x3 + 8y3 | Identifica que este binomio sea una suma de cubos: a3 + b3. a = x, y b = 2y (como 2y • 2y • 2y = 8y3). |
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| (x + 2y)(x2 – x(2y) + (2y)2) | Factoriza el binomio como (a + b)(a2 – ab + b2), restando a = x y b = 2y en la expresión. |
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| (x + 2y)(x2 – x(2y) + 4y2) | Eleva al cuadrado (2y)2 = 4y2. |
| Respuesta | (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2) | Multiplica −x(2y) = −2xy (escribiendo primero el coeficiente). |
Y es todo. ¡El binomio x3 + 8y3 puede factorizarse como (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)! Intentemos con otro.
Debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones de factorización.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar 16m3 + 54n3. |
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| 16m3 + 54n3 | Saca el factor común 2. |
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| 2(8m3 + 27n3) | 8m3 y 27n3 son cubos, entonces puedes factorizar 8m3 + 27n3 como la suma de dos cubos: a = 2m, y b = 3n. |
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| 2(2m + 3n)[(2m)2 – (2m)(3n) + (3n)2] | Factoriza el binomio 8m3 + 27n3 sustituyendo a = 2m y b = 3n en la expresión (a + b)(a2 – ab + b2). |
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| 2(2m + 3n)[4m2 – (2m)(3n) + 9n2] | Eleva al cuadrado: (2m)2 = 4m2 y (3n)2 = 9n2. |
| Respuesta | 2(2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2) | Multiplica −(2m)(3n) = −6mn. |
| Factorizar 125x3 + 64.
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
B) (5x + 4)(25x2 – 20x + 16)
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
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Ahora que sabemos cómo factorizar binomios de la forma a3 + b3, no debe sorprendernos que binomios de la forma a3 – b3pueden factorizarse de manera similar.
| La Resta de Cubos
Un binomio de la forma a3 – b3 puede factorizarse como (a – b)(a2 + ab + b2).
Ejemplos: La forma factorizada de x3 – 64 es (x – 4)(x2 + 4x + 16). La forma factorizada de 27x3 – 8y3 es (3x – 2y)(9x2 + 6xy + 4y2).
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Observa que la construcción básica de la factorización es la misma que la de la suma de cubos; la diferencie está en los signos + y –. Tómate un momento para comparar la forma factorizada de a3 + b3 con la forma factorizada de a3 – b3.
| Forma factorizada de a3 + b3: | (a + b)(a2 – ab + b2) |
| Forma factorizada de a3 – b3: | (a – b)(a2 + ab + b2) |
Esto puede ser difícil de recordar por los signos diferentes — ¡la forma factorizada de a3 + b3 contiene un negativo, y la forma factorizada de a3 – b3 contiene un positivo! Algunas personas recuerdan las formas diferentes así:
“Recuerda una secuencia de variables: a3 b3 = (a b)(a2 ab b2). Faltan 4 signos, Cualquiera que sea el primer signo, también es el segundo signo. El tercer signo es el opuesto, y el cuarto signo siempre es +.”
Inténtalo tú. Si el primer signo es +, como en a3 + b3, de acuerdo con esta estrategia ¿cómo completas el resto: (a b)(a2 ab b2)? ¿Te sirve este método para recordar la forma factorizada de a3 + b3 y a3 – b3?
Sigamos y hagamos un par de ejemplos. Recuerda sacar primero el factor común.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar 8x3 – 1,000. |
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| 8(x3 – 125) | Saca el factor 8. |
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| 8(x3 – 125) | Identifica que el binomio tiene la forma a3 - b3: a = x, y b = 5 (ya que53 = 125). |
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| 8(x - 5)[x2 + (x)(5) + 52] | Factoriza x3 – 125 como (a – b)(a2 + ab + b2), sustituyendo a = x y b = 5 en la expresión. |
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| 8(x – 5)(x2 + 5x + 25) | Eleva al cuadrado el primer y el último término, y reescribe (x)(5) como 5x. |
| Respuesta | 8(x – 5)(x2 + 5x + 25) |
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Veamos lo que pasa si no sacas el factor común primero. En este ejemplo, se puede factorizar la resta de dos cubos. Sin embargo, la forma factorizada sigue teniendo factores comunes, que deben sacarse.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar 8x3 – 1,000. |
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| 8x3 – 1,000 | Identifica que este binomio tiene la forma a3 - b3: a = 2x, y b = 10 (ya que 103 = 1,000). |
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| (2x – 10)[(2x)2 + 2x(10) + 102] | Factoriza como (a – b)(a2 + ab + b2), sustituyendo a = 2x y b = 10 en la expresión. |
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| (2x – 10)(4x2 + 20x + 100) | Eleva al cuadrado y multiplica: (2x)2 = 4x2, (2x)(10) = 20x, y 102 = 100. |
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| 2(x – 5)(4)(x2 + 5x + 25) | Saca los factores comunes faltantes en cada factor. Saca el factor 2 del primer factor, saca el factor 4 del segundo factor. |
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| (2 • 4)(x – 5)(x2 + 5x + 25) | Multiplica los factores numéricos. |
| Respuesta | 8(x – 5)(x2 + 5x + 25) |
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Como puedes ver, este último ejemplo salió bien, pero requirió un par de pasos extra. Siempre es buena idea primero sacar los factores comunes. En algunos casos, la única manera eficiente de factorizar el binomio es sacar los factores comunes al inicio.
Aquí hay un último ejemplo. Observa que r9 = (r3)3 y que 8s6 = (2s2)3.
| Ejemplo | ||
| Problema |
Factorizar r9 – 8s6. |
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| r9 – 8s6 | Identifica este binomio como la resta de dos cubos. Como se mostró arriba, lo es. Usando las reglas de los exponentes, reescribe r9 como (r3)3. |
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| (r3)3 – (2s2)3 | Reescribe r9 como (r3)3 y reescribe 8s6 como (2s2)3. |
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| Ahora el binomio está escrito en términos de las cantidades al cubo. Pensando en a3 – b3, a = r3 y b = 2s2. |
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| (r3 – 2s2)[(r3)2 + (r3)(2s2) + (2s2)2] | Factoriza el polinomio como (a – b)(a2 + ab + b2), sustituyendo a = r3 y b = 2s2 en la expresión. |
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| (r3 – 2s2)(r6 + 2 r3s2+ 4s4) | Multiplica y eleva al cuadrado los términos. |
| Respuesta | (r3 – 2s2)(r6 + 2r3s2 + 4s4) |
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| Usando la resta de cubos, identifica el producto de 3(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2).
A) x3 – y3
B) 3x – 81y
C) 3x3 + 81y3
D) 3x3 – 81y3
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Sumario
Cuando factorizas, te topas con algunos patrones interesantes. Dos casos especiales — la suma de cubos y la resta de cubos — te pueden ayudar a factorizar algunos binomios de grado 3 (o más alto, en algunos casos). Los casos especiales son:
Recuerda siempre primero sacar cualquier factor común.