Multiplicando Polinomios

Objetivos de Aprendizaje

· Multiplicar polinomios.

· Multiplicar monomios por polinomios.

· Multiplicar dos binomios.

· Multiplicar cualquier polinomio.

Introducción

Multiplicar polinomios consiste en aplicar las reglas de los exponentes y la propiedad distributiva para simplificar el producto. Esta multiplicación puede ilustrarse con un modelo de área, y puede ser útil para modela situaciones del mundo real. Entender el producto de los polinomios es un paso importante en aprender a resolver ecuaciones algebraicas que involucran polinomios.

Multiplicando Monomios

Empecemos por multiplicar dos monomios simples. Considera el rectángulo cuyo largo es 2x y ancho es 3x. Para encontrar el área de este rectángulo, multiplica el largo por el ancho.

2x
	3x

El área del rectángulo = (2x)(3x) = (2x)(3x) = 2 • 3 • x • x = 6x²

Observa que se usan las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación para acomodar los factores, poniendo juntos los coeficientes y también las variables.

El área, 6x², es un producto que incluye un coeficiente (6) y una variable con un exponente entero (x²). En otras palabras, es también un monomio. Entonces el resultado de multiplicar dos monomios es — ¡otro monomio!

Probemos con un ejemplo un poco más complejo: -9x³ • 3x².

Ejemplo
Problema	Multiplica. -9x^3 • 3x^2
	-9 • 3 • x^3• x^2	Usa las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación para reordenar los factores.
	-27 • x^3• x^2	Multiplica las constantes. Recuerda que un número positivo por un número negativo resulta en un número negativo.
	-27 • x^3+2 -27 • x^5	Multiplica los términos variables. Recuerda sumar los exponentes cuando multiplicas con la misma base.
Respuesta	−9x^3 • 3x^2=−27x^5

¡Eso es! Cuando multiplicas monomios, multiplica los coeficientes, y luego multiplica las variables. Si dos variables tienen la misma base, sigue las reglas de los exponentes, así:

Encuentra el área del rectángulo:

A) 8y³

B) 15y⁵

C) 15y¹⁰

D) 8y⁵

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A) 8y³

Incorrecto. Multiplica los dos coeficientes para obtener 15, luego multiplica las variables. Usa las reglas de los exponentes: y³ • y² = y^{3 + 2} = y⁵. La respuesta correcta es 15y⁵.

B) 15y⁵

Correcto. Multiplica 3 • 5 y y³ • y², usando las reglas de los exponentes para obtener y⁵.

C) 15y¹⁰

Incorrecto. Cuando multiplicas exponentes, si las bases son las mismas, sumas los exponentes: y³ • y² = y^{3 + 2} = y⁵. La respuesta correcta es 15y⁵.

D) 8y⁵

Incorrecto. Multiplicaste correctamente las variables (y³ • y² = y^{3 + 2} = y⁵) pero aparentemente sumaste los coeficientes en lugar de multiplicarlos. La respuesta correcta es 15y⁵.

El Producto de un Monomio y un Polinomio

La propiedad distributiva puede usarse para multiplicar un polinomio por un monomio. Sólo recuerda que el monomio debe ser multiplicado por cada término del polinomio. Considera la expresión 2x(2x² + 5x + 10).

Esta expresión puede modelarse como se ve abajo.

	2x^2	5x	10
2x	4x^3	10x^2	20x

El modelo ilustra la propiedad distributiva.

2x(2x² + 5x + 10) = 2x(2x²) + 2x(5x) = 2x(10)

                               =       4x³ + 10x² + 20x

Aquí hay un ejemplo:

Ejemplo
Problema	Simplifica. 5x(4x^2 + 3x + 7)
	5x(4x^2) + 5x(3x) + 5x(7)	Distribuye el monomio en cada término del polinomio.
	20x^3 + 15x^2 + 35x	Multiplica.
Respuesta	5x(4x^2 + 3x + 7) = 20x^3 + 15x^2 + 35x

Puede que necesites reescribir la resta como la suma del opuesto.

Ejemplo
Problema	Simplifica. 7x^2(2x^2 – 5x + 1)
	7x^2[2x^2 + (– 5x) + 1]	Reescribe la resta como la suma del opuesto.
	7x^2(2x^2) +  7x^2(– 5x) + 7x^2(1)	Distribuye el monomio en cada término del polinomio.
	14x^4 + (-35)x^3 + 7x^2	Multiplica.
Respuesta	7x^2(2x^2 – 5x + 1) = 14x^4 – 35x^3 + 7x^2	Reescribe la suma de términos con coeficientes negativos como resta.

Encuentra el producto. ¡Cuidado con los signos!

-3t²(7t³ + 3t² – t)

A) -21t⁵ – 9t⁴ + 3t³

B) -21t⁵ + 9t⁴ – 3t³

C) -21t⁶ – 9t⁴ + 3t²

D) -21t⁵ + 3t² – t

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A) ) -21t⁵ – 9t⁴ + 3t³

Correcto. Al reescribir la resta como la suma del opuesto obtenemos -3t²[7t³ + 3t² + (-t)]. Distribuyendo el monomio -3t² tenemos -3t² • 7t³ + (-3t²) • 3t² + (-3t²) • (-t), que es -21t⁵ + (‑9t⁴) + (3t³). Y reescribiendo la suma de los términos con coeficientes negativos como una resta da ‑21t⁵ – 9t⁴ + 3t³.

B) -21t⁵ + 9t⁴ – 3t³

Incorrecto. El negativo debe ser distribuido a todos los términos junto con el 3t². Esto cambia el signo de los términos del centro y del final. La respuesta correcta es ‑21t⁵ – 9t⁴ + 3t³.

C) -21t⁶ – 9t⁴ + 3t²

Incorrecto. Según las reglas de los exponentes, cuando multiplicas, sumas (y no multiplicas) los exponentes: -3t² • 7t³ + (-3t²) • 3t² + (-3t²) • (-t) es -21t⁵ + (-9t⁴) + (3t³). La respuesta correcta es ‑21t⁵ – 9t⁴ + 3t³.

D) -21t⁵ + 3t² – t

Incorrecto. Debes distribuir el monomio con todos los términos del polinomio, no sólo el primero: -3t² • 7t³ + (-3t²) • 3t² + (-3t²) • (-t). La respuesta correcta es ‑21t⁵ – 9t⁴ + 3t³.

El Producto de Dos Binomios

Ahora exploremos la multiplicación de dos binomios. Una vez más, puedes dibujar el modelo de área para ayudarte a entender el proceso. Vas a usar cada binomio como una de las dimensiones del rectángulo, y su producto será el área.

El modelo siguiente representa (x + 4)(2x + 2):

	x	+	4
2x	2x^2	8x
+
2	2x	8

Cada binomio se expande en términos de variable y constantes, x + 4, en la parte de arriba del modelo y2x + 2 en el lado izquierdo. El producto de cada par de términos es un rectángulo coloreado. El área total es la suma de todos los rectángulos, 2x² + 8x + 2x + 8. Si combinas todos los términos semejantes, puedes escribir el producto, o el área, como 2x² + 10x + 8.

Puedes usar la propiedad distributiva para determinar el producto de dos binomios.

Ejemplo
Problema	(x + 4)(2x + 2)
x(2x) + x(2) + 4(2x) + 4(2)		Distribuye la x en 2x + 2, luego distribuye el 4 en 2x + 2.
2x^2 + 2x + 8x + 8		Multiplica.
2x^2 + 10x + 8		Combina términos semejantes (8x + 2x).
Respuesta	(x + 4)(2x + 2) = 2x^2 + 10x + 8

Observa de nuevo el modelo para ver de dónde viene cada pieza de 2x² + 8x + 2x + 8. ¿Puedes ver dónde multiplicas x por 2x + 2, y dónde obtienes el 2x² de x(2x)?

Otra manera de entender la multiplicación de binomios es tomar cada término en un binomio y multiplicarlo por cada término del otro binomio. Observa el ejemplo anterior: la x en x + 4 se multiplica por el 2x y el 2 de 2x + 2, y el 4 se multiplica por el 2x y el 2.

Algunas personas usan el método FOIL para recordar qué pares han sido multiplicados. Las letras en FOIL significan First, Outer, Inner, Last:

First (primer término en cada binomio):  (x + 4)(2x + 2)             x(2x) = 2x²

Outer (términos exteriores):                    (x + 4)(2x + 2)             x(2) = 2x

Inner (términos interiores):                     (x + 4)(2x + 2)             4(2x) = 8x

Last (último término en cada binomio):  (x + 4)(2x + 2)             4(2) = 8

Cuando sumas los cuatro resultados, obtienes la misma respuesta,

2x² + 2x + 8x + 8 = 2x² + 10x + 8.

Aquí hay otro ejemplo – esta vez usando FOIL.

Ejemplo
Problema	(4x – 10)(2x + 3)
	4x(2x) = 8x^2 4x(3) = 12x −10(2x) = -20x −10(3) = -30	First Outer Inner Last Ten cuidado al incluir el signo negativo del -10, porque 10 se resta.
	8x^2 + 12x – 20x – 30	Combina los términos semejantes.
Respuesta	(4x – 10)(2x + 3) = 8x^2 – 8x – 30

Como la multiplicación es conmutativa, los términos pueden multiplicarse en cualquier orden. La expresión (2x + 2)(x + 4) tiene el mismo producto que (x  + 4)(2x + 2), 2x² + 10x + 8. No importa el orden en el que multipliques los binomios. Lo que importa es que multipliques cada término en un binomio con cada término en el otro binomio.

El último paso de multiplicar polinomios es combinar los términos semejantes. Recuerda que un polinomio está simplificado sólo cuando ya no quedan términos semejantes.

Encuentra el producto:

(a + 10)(2a – 7)

A) 2a² + 19a – 70

B) 3a + 3

C) 2a² – 70

D) 2a² + 13a – 70

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 2a² + 19a – 70

Incorrecto. El término del centro debe ser 20a – 7a, que es 13a. La respuesta correcta es 2a² + 13a – 70.

B) 3a + 3

Incorrecto. Debes multiplicar, y no sumar, los términos en un binomio por los términos del otro binomio. La respuesta correcta es 2a² + 13a – 70.

C) 2a² – 70

Incorrecto. Multiplica cada término en un binomio por los términos del otro binomio. Faltan (a)(-7) y (10)(2a). La respuesta correcta es 2a² + 13a – 70.

D) 2a² + 13a – 70

Correcto. Usando el método FOIL, encuentras que (a + 10)(2a – 7) =

a(2a) + a(-7) + 10(2a) + 10(-7) = 2a² – 7a + 20a – 70 = 2a² + 13a – 70.

El Producto de un Binomio y un Trinomio

Otro tipo de problema de multiplicación polinomial es el de un binomio por un trinomio. Aunque el método FOIL no se puede usar porque hay más de dos términos en un trinomio, puedes usar la propiedad distributiva para organizar los productos individuales. Usando la propiedad distributiva, cada término en el binomio debe ser multiplicado por cada término en el trinomio. A continuación se muestran dos ejemplos.

Ejemplo
Problema	(3x + 6)(5x^2 + 3x + 10)
3x(5x^2 + 3x + 10) + 6(5x^2 + 3x + 10)		Distribuye el trinomio a cada término del binomio.
3x(5x^2) + 3x(3x) + 3x(10) + 6(5x^2)+ 6(3x) + 6(10)		Usa la propiedad distributiva para distribuir los monomios a cada término en los trinomios.
15x^3 + 9x^2+ 30x+ 30x^2 + 18x + 60		Multiplica.
15x^3 + (9x^2 + 30x^2) + (30x + 18x) + 60		Agrupa términos semejantes.
Respuesta	(3x + 6)(5x^2 + 3x + 10) = 15x^3 + 39x^2+ 48x + 60	Combina términos semejantes.

Como puedes ver, ¡multiplicar un binomio por un trinomio lleva a muchos términos individuales! Algunas personas prefieren acomodar estos problemas verticalmente y reunir los términos semejantes al ir multiplicando. Este método se muestra a continuación, usando el mismo problema anterior.

Ejemplo

Problema

(3x + 6)(5x² + 3x + 10)

		3x	+ 6
x	5x^2	+ 3x	+ 10
		+ 30x	+ 60

Acomoda el problema de forma vertical, y empieza por multiplicar 3x + 6 por + 10. Coloca los productos debajo, como se muestra.

		3x	+ 6
x	5x^2	+ 3x	+ 10
		+ 30x	+ 60
	+ 9x^2	+ 18x

Ahora multiplica 3x + 6 por + 3x. Observa que(6)(3x) = 18x; porque este término es semejante a 30x, colócalo directamente debajo.

		3x	+ 6
x	5x^2	+ 3x	+ 10
		+ 30x	+ 60
	+ 9x^2	+ 18x
+ 15x^3	+ 30x^2

Finalmente, multiplica 3x + 6 por 5x². Observa que 30x² se coloca debajo de 9x².

		3x	+ 6
x	5x^2	+ 3x	+ 10
		+ 30x	+ 60
	+ 9x^2	+ 18x
+ 15x^3	+ 30x^2
+ 15x^3	+ 39x^2	+ 48x	+ 60

Ahora suma los términos semejantes.

Respuesta

15x³ + 39x² + 48x + 60

Puedes ver que, a pesar de que los dos problemas se resolvieron con estrategias diferentes, el producto es el mismo. Los métodos horizontal y vertical aplican la propiedad distributiva para multiplicar un binomio por un trinomio.

El siguiente ejemplo muestra la multiplicación por un binomio y un trinomio que contienen una resta cada uno. El ejemplo completa la multiplicación sin reescribir cada resta como una suma del opuesto. ¡Recuerda que debes tener cuidado con los signos! (Si prefieres, puedes continuar con reescribir la resta como la suma del opuesto.)

Ejemplo
Problema	(2p – 1)(3p^2 – 3p + 1)
2p(3p^2 – 3p + 1) – 1(3p^2 – 3p + 1)		Distribuye el trinomio a cada término del binomio.
2p(3p^2) + 2p(-3p) + 2p(1) – 1(3p^2) – 1(-3p) – 1(1)		Si no escribes la resta como la suma del opuesto, entonces asegúrate de pensarlo de esa manera. Entonces estás distribuyendo -1 y multiplicando cada término del trinomio por -1.
	6p^3 – 6p^2 + 2p – 3p^2 + 3p – 1	Multiplica. (Observa que el 1 restado y el 3p restado tienen un producto positivo que es sumado.)
	6p^3 – 9p^2 + 5p – 1	Combina términos semejantes.
Respuesta	6p^3 – 9p^2 + 5p – 1

Encuentra el producto:

(3x – 2)(2x² + 4x – 11)

A) 6x³ + 8x² – 41x + 22

B) 6x³ + 8x² – 41x – 22

C) 6x³ + 12x + 22

D) 3x³ + 8x² + 25x – 22

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A) 6x³ + 8x² – 41x + 22

Correcto. 3x(2x² + 4x – 11) – 2(2x² + 4x – 11) = 6x³  + 12x² – 33x – 4x² – 8x + 22 = 6x³  + 8x² – 41x + 22.

B) 6x³ + 8x² – 41x – 22

Incorrecto. (-2)(-11) = 22. La respuesta correcta es 6x³ + 8x² – 41x + 22.

C) 6x³ + 12x + 22

Incorrecto. Cada término en el binomio debe ser multiplicado por cada término en el trinomio. La respuesta correcta es 6x³ + 8x² – 41x + 22.

D) 3x³ + 8x² + 25x – 22

Incorrecto. Multiplica los coeficientes (3x)(2x²); combina los términos semejantes sumando/restando los coeficientes de acuerdo con sus signos. La respuesta correcta es 6x³ + 8x² – 41x + 22.

Sumario

La multiplicación de binomios y polinomios requiere el uso de la propiedad distributiva así como el de las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Ya sea que se trate de polinomios, binomios, o trinomios, debes multiplicar con cuidado cada término en un polinomio por cada término en el otro polinomio. Debes tomar en cuenta los signos de suma y resta y coeficientes negativos. Un producto está escrito en su forma simplificada si todos sus términos semejantes han sido combinados.