Desigualdades de Varios Pasos

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Usar las propiedades de la desigualdad para despejar variables y resolver desigualdades algebraicas, y expresar sus soluciones gráficamente.

·         Simplificar y resolver desigualdades algebraicas usando la propiedad distributiva para eliminar paréntesis y fracciones.

 

Introducción

Resolver desigualdades de varios pasos es muy similar a resolver ecuaciones — lo que haces en un lado debes también hacerlo en el otro para mantener el “balance” de la desigualdad. Las propiedades de la desigualdad te pueden ayudar a entender cómo sumar, restar, multiplicar, o dividir en una desigualdad.

 

Usando las Propiedades Para Resolver Desigualdades

Una estrategia popular para resolver ecuaciones, despejar la variable, también aplica a resolver desigualdades. Sumando, restando, multiplicando y/o dividiendo, puedes reescribir la desigualdad de tal manera que la variable quede en un lado y todo lo demás en el otro. Al igual que las desigualdades de un paso, las soluciones de las desigualdades de varios pasos pueden graficarse en la recta numérica.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver p.

4p + 5 < 29

 

 

Empieza despejando la variable restando 5 de ambos lados de la desigualdad.

Divide ambos lados de la desigualdad entre 4 para expresar la variable con un coeficiente de 1.

Respuesta

 

 

 

Para graficar esta desigualdad, dibujas un círculo abierto en el punto final 6 en la recta numérica. El círculo es abierto porque la desigualdad es menor que 6 y no igual a 6. Los valores donde p es menor que 6 se encuentran a lo largo de la recta numérica la izquierda de 6. Dibuja una línea azul y una flecha en la recta numérica apuntando en esa dirección.

 

 

Para comprobar la solución, sustituye el punto final 6 en la desigualdad original escrita como una ecuación, que se llama ecuación relacionada, para ver si obtienes un enunciado válido. Luego comprueba otra solución, como 0, para ver si la desigualdad es correcta.

 

 

Ejemplo

Problema

Comprueba que p < 6 es la solución de la desigualdad 4p + 5 < 29.

 

Comprueba el punto final 6 en la ecuación relacionada.

 

Intenta con otro valor para comprobar la desigualdad. Usemos p = 0.

Respuesta    p < 6 es la solución de la desigualdad4p + 5 < 29.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x.

3x – 7  ≥  41

 

 

Empieza a despejar la variable sumando 7 a ambos lados de la desigualdad.

Divide entre 3 ambos lados de la desigualdad para expresar la variable con un coeficiente de 1.

Comprobar

 

Primero, comprueba el punto final 16 en la ecuación relacionada.

 

 

 

 

 

Luego, intenta con otro valor para comprobar la desigualdad. Usemos x = 20.

Respuesta

 

 

 

Cuando resuelvas desigualdades de varios pasos, pon atención a situaciones en las que multiplicas o divides por un número negativo. En estos casos, debes revertir el signo de desigualdad.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver p.

−6p + 14 < −58

 

Empieza a despejar la variable restando 14 de ambos lados de la desigualdad.

Divide entre −6 ambos lados de la desigualdad para expresar la variable con un coeficiente de 1.

Al dividir entre un número negativo, revertimos el signo de desigualdad.

Comprobar

 

 

Comprueba la solución.

Primero, comprueba el punto final 12 en la ecuación relacionada.

 

 

 

 

Luego, intenta con otro valor para comprobar la desigualdad. Usemos 100.

 

Respuesta

 

 

 

La gráfica de la desigualdad p > 12 tiene un círculo abierto en 12 con una flecha apuntando hacia la derecha.

 

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resolver x.

 

Para despejar la variable, resta  de ambos lados de la desigualdad.

 

 

 

 

 

Luego multiplica por 3 para que el coeficiente enfrente de los paréntesis sea 1. Luego resta 3 de ambos lados.

 

Comprobar

 

Comprueba la solución.

Primero, comprueba el punto final -18 en la ecuación relacionada

.

Ahora comprueba algún valor de x que esté en esta región . Usaremos .

 

 

 

 

 

 

El enunciado es válido.

Respuesta

 

 

 

Pregunta Avanzada

Un estudiante está resolviendo la desigualdad . Si combina los términos comunes, ¿cuál de las siguientes desigualdades encontrará?

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Parece que intentaste combinar los términos comunes pero cometiste errores con los signos al sumar y restar. Para despejar el término de la variable de la derecha, necesitas restar 7x de ambos lados; . La respuesta correcta es: .

 

B)

Correcto. Combinaste los términos semejantes adecuadamente.  se vuelve , que es lo mismo que .

 

C)

Incorrecto. Recuerda que no puedes sumar términos de variables con términos sin variables como si fueran enteros. La respuesta correcta es: .

 

D)

Incorrecto. Intenta restando  y 4x de cada lado antes de operar los términos semejantes. La respuesta correcta es: .

 

 

 

Usando la Propiedad Distributiva para Eliminar Paréntesis y Fracciones

Al igual que con las ecuaciones, la propiedad distributiva puede aplicarse para simplificar expresiones que son parte de una desigualdad. Una vez que los paréntesis han sido eliminados, resolver una desigualad será sencillo.

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver x.

2(3x – 5) ≤ 4x + 6

 

Distribuir para eliminar los paréntesis. Restar 4x de ambos lados para tener el término de la variable a un lado solamente.

 

Suma 10 a ambos lados para despejar la variable.

 

Divide ambos lados entre 2 para expresar la variable con un coeficiente de 1.

 

Comprobar

 

   

Comprueba la solución.

Primero, comprueba el punto final 8 en la ecuación relacionada.

 

 

 

 

 

Luego, escoge otra solución y evalúa la desigualdad para ese valor para asegurarte de que el enunciado es válido.

Intenta con 0.

Respuesta

 

 

 

Ejemplo

Problema

Resolver a.

 

Elimina la fracción multiplicando por 6 ambos lados de la ecuación.

 

Suma 4 a ambos lados para despejar la variable.

 

Divide ambos lados entre 2 para expresar la variable con un coeficiente de 1.

Comprobar

 

Comprueba la solución.

Primero, comprueba el punto final 8 en la ecuación relacionada.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Luego, escoge otra solución y evalúa la desigualdad para ese valor para asegurarte de que el enunciado es válido.

Intenta con 5.

 

Respuesta

 

 

 

Ejemplo Avanzado

Problema

Resolver d.

 

Esta desigualdad contiene dos paréntesis. Usa la propiedad distributiva para expandir ambos lados de la desigualdad.

 

Ahora que ambos lados han sido expandidos, combina los términos comunes y encuentra el rango de valores para d.

Comprobar

 

Comprueba la solución.

Primero, comprueba el punto final  en la ecuación relacionada.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Resulta en un enunciado válido.

Ahora intenta cualquier otro valor para d que esté en la región . Intentaremos con

 

 

 

 

 

 

Este también es un enunciado válido.

Respuesta

    

 

 

 

¿Cuál es el primer paso más lógico para resolver la variable en la desigualdad?:

8x + 7 < 3(2x + 1)

 

A) Revertir el signo de desigualdad.

B) Usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis multiplicando por 3 cada uno de los términos entre paréntesis.

C) Restar 2x de ambos lados de la desigualdad.

D) Dividir entre 3 ambos lados de la desigualdad.

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) Revertir el signo de desigualdad.

Incorrecto. El signo de la desigualdad se revierte como resultado de dividir o multiplicar ambos lados de la desigualdad por un número negativo. Normalmente sucede en un paso posterior en una desigualdad de varios pasos y, en el caso de este ejemplo, no sucederá. La respuesta correcta es usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis multiplicando por 3 cada uno de los términos entre paréntesis.

 

B) Usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis multiplicando por 3 cada uno de los términos entre paréntesis.

Correcto. La propiedad distributiva elimina los paréntesis para que puedas despejar la variable.

 

C) Restar 2x de ambos lados de la desigualdad.

Incorrecto. Es necesario distribuir el 3 antes de restar cualquier término que tenga x. La respuesta correcta es usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis multiplicando por 3 cada uno de los términos entre paréntesis.

 

D) Dividir entre 3 ambos lados de la desigualdad.

Incorrecto. Dividir entre 3 ambos lados, a pesar de que es legal, resultará en una fracción complicada en el lado izquierdo de la desigualdad y no es un paso lógico. La respuesta correcta es usar la propiedad distributiva para eliminar el paréntesis multiplicando por 3 cada uno de los términos entre paréntesis.

 

 

Pregunta Avanzada

Resolver x.

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. Intenta sustituyendo algún valor que sea menor o igual a -5 por x en la desigualdad. No obtendrás un enunciado válido, entonces x no es menor o igual que -5. La respuesta correcta es: .

 

B)

Incorrecto. Necesitas evaluar el lado izquierdo de la desigualdad y luego resolver x. Recuerda que . La respuesta correcta es: .

 

C)

Incorrecto. Asegúrate de que estás evaluando correctamente el lado izquierdo de la desigualdad: . La respuesta correcta es: .

 

D)

Correcto. Al valuar primero el interior del paréntesis, encuentras que . Resuelve x, restando 25 de ambos lados y luego dividiendo entre -10, lo que requiere que voltees el signo de desigualdad de ≤ a ≥.

 

 

 

Sumario

Las desigualdades pueden tener un rango de soluciones. Las soluciones normalmente se grafican en una recta numérica para visualizar todas las soluciones. Las desigualdades de varios pasos se resuelven usando los mismos procesos que funcionan para resolver ecuaciones con una excepción. Cuando multiplicas o divides ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debes revertir el símbolo de desigualdad. Los símbolos de desigualdad permanecen iguales siempre que sumas o restas un número positivo o uno negativo a ambos lados de la desigualdad.