Restando Números Reales
Objetivos de Aprendizaje
· Restar dos o más números reales.
· Simplificar combinaciones que requieren la suma y la resta de números reales.
· Resolver problemas de aplicación que requieren la resta de números reales.
Introducción
La resta y la suma están relacionadas. Se llaman operaciones inversas, porque una "deshace" a la otra. Entonces, al igual que con los enteros, puedes reescribir una resta como una suma para restar números reales.
Inverso Aditivo
Las operaciones inversas, como la suma y la resta, son la base del álgebra. Supongamos que tienes $10 y le prestas $5 a un amigo. Una hora después, ella te paga los $5 que te debía. Vuelves a tener $10. Puedes representar esto como:
10 – 5 + 5 = 10.
Esto funciona porque un número menos sí mismo es 0.
3 – 3 = 0 63.5 – 63.5 = 0 39,283 – 39,283 = 0
Entonces, sumar un número y luego restar el mismo número es lo mismo que sumar 0.
Piensa en esta idea en términos de números opuestos, también podemos decir que un número mas su opuesto es 0, Observa que cada ejemplo siguiente consiste en un número positivo y uno negativo sumados.
3 + (−3) = 0 −63.5 + 63.5 = 0 39,283 + (−39,283) = 0
Dos números son inversos aditivos si su suma es 0. Como esto significa que los números son opuestos (el mismo valor absoluto pero con signos diferentes), el "inverso aditivo" es otro término más forma para el opuesto de un número. (Observa que 0 es su propio inverso aditivo.)
Puedes usar los inversos aditivos u opuestos para reescribir una resta como una suma. Si estás sumando dos números con signos diferentes, encuentras la diferencia entre sus valores absolutos y usas el signo del número con el valor absoluto mayor.
Cuando el número mayor es positivo, es fácil ver la conexión.
13 + (−7) = 13 – 7
Ambos son iguales a 6.
Veamos cómo funciona. Cuando sumas números positivos, te mueves hacia adelante, mirando en la dirección positiva.
Cuando restas números positivos, te puedes imaginar moviéndote hacia atrás, pero aun mirando en la dirección positiva.
Ahora veamos lo que significa cuando uno o más de los números son negativos.
Recuerda que cuando sumas un número negativo, te mueves hacia adelante, pero miras en la dirección negativa (hacia la izquierda).
¿Cómo restas un número negativo? Primero miras y te mueves hacia adelante en la dirección negativa al primer número, −2. Luego continúas mirando hacia la dirección negativa (a la izquierda), pero te mueves hacia atrás para restar −3.
Pero, ¿no es esto lo mismo que si hubieras sumado un 3 positivo a un −2? −2 + 3 = 1.
Usa la recta numérica interactiva de abajo para encontrar las respuestas a los siguientes pares de sumas y diferencias, y compara los resultados. Tendrás que especificar ambos números y si estas sumando o restando.
3 – 4 y 3 + (−4)
2 – (−3) y 2 + 3
−1 – 5 y −1 + (−5)
−2 – (−1) y −2 + 1
En cada problema de suma, miras hacia una dirección y te mueves cierta distancia hacia adelante. En un problema de resta, miras en la dirección opuesta y te mueves la misma distancia hacia atrás. ¡Cada una te da el mismo resultado!
| Para restar un número real, puedes reescribir el problema como la suma del opuesto (inverso aditivo). |
Observa que, mientras esto funciona siempre, la resta de los números enteros positivos es la misma. Puedes restar 38 – 23 como siempre lo has hecho. O, puedes reescribirlo como
38 + (−23). Ambas formas te darán el mismo resultado.
38 – 23 = 38 + (−23) = 15.
Tú eliges.
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula 23 – 73. | |
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| No puedes usar el método normal de resta, porque 73 es mayor que 23. |
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| 23 + (−73) | Reescribe la resta como sumando el opuesto. |
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| |23| = 23 y |−73| = 73 73 – 23 = 50 | Los sumandos tienen signos diferentes, entonces encuentra la diferencia de sus valores absolutos. |
| Respuesta | 23 – 73 = −50 | Como |−73| > |23|, el resultado final es negativo. |
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula 382 – (−93). | |
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| 382 + 93
382 + 93 = 475 | Reescribe la resta como sumando el opuesto. El opuesto de −93 es 93. Entonces, se convierte en un problema simple de suma. |
| Respuesta | 382 – (−93) = 475 |
|
Otra manera de pensar en la resta es observar la distancia entre los dos números en la recta numérica. En el ejemplo anterior, 382 está a la derecha del 0 por 382 unidades, y −93 está a la izquierda del 0 por 93 unidades. La distancia entre ellos es la suma de sus distancias a 0: 382 + 93.
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula | |
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| Sustituye |
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| Reescribe la resta como la suma del opuesto. El opuesto de |
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| Ahora sólo se trata de sumar dos números racionales. Recuerda que debes encontrar un común denominador cuando sumas fracciones. 3 y 5 tienen el común múltiplo de 15; cambia los denominadores de ambas fracciones a 15 (y has los cambios necesarios en el numerador!) antes de sumar.
|
| Respuesta |
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por x en la expresión.
.
| Calcula -32.3 – (-16.3).
A) −48.6 B) −16 C) 16 D) 48.6
|
Cuando tienes que sumar más de dos números reales, empieza de izquierda a derecha como lo harías en la suma de números enteros. Asegúrate de cambiar la resta por la suma del opuesto cuando sea necesario.
| Ejemplo | ||
| Problema | Calcula −23 + 16 – (−32) – 4 + 6. | |
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| −23 + 16 – (−32) – 4 + 6 −7 – (−32) – 4 + 6 | Empieza con −23 + 16. Los sumandos tienen signos diferentes, entonces encuentras la diferencia y usas el signo del sumando con el valor absoluto mayor. −23 + 16 = −7. |
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| −7 – (−32) – 4 + 6 −7 + 32 – 4 + 6 | Ahora tienes −7 – (−32). Reescribe la resta como la suma del opuesto. El opuesto de −32 es 32, entonces esto se vuelve −7 + 32, que es igual a25. |
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| 25 – 4 + 6
21 + 6 | Ahora tienes 25 – 4. Podrías reescribir esto como problema de suma, pero no necesitas.
Completa la suma final de 21 + 6. |
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Respuesta |
−23 + 16 – (−32) – 4 + 6 = 27 |
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| Calcula 32 – (−14) – 2 + (−82).
A) −66 B) −38 C) 98 D) 126
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Las situaciones que usan números negativos pueden requerir de la resta así como de la suma. Como vimos arriba, algunas veces restar dos números positivos puede darnos un resultado negativo. Debes asegurarte que el número negativo tiene sentido en el problema.
| Ejemplo | ||
| Problema | Boston es, en promedio, 7 grados más caliente que Bangor, Maine. La temperatura de un día frío de invierno en Boston fue de 3° F. ¿Qué temperatura se registrará en Bangor ese mismo día? | |
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| Si la temperatura en Boston es x, la temperatura en Bangor es x – 7. | La frase "7 grados más caliente" significa que puedes restar 7 grados de la temperatura de Boston para estimar la temperatura de Bangor. (Observa que también puedes sumar 7 grados a la temperatura de Boston. Ten cuidado sobre cuál debe tener el número más grande!) |
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| x = 3 | En ese día, la temperatura de Boston fue de 3°. |
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| La temperatura de Bangor es 3 – 7 | Sustituye 3 por x para obtener la temperatura de Bangor. |
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| 3 – 7 = 3 + (−7) | Como 3 < 7, reescribe el problema de la resta como la suma del opuesto. Suma los números. Como uno es positivo y el otro es negativo, encuentras la diferencia de |−7| y |3|, que es 4. Como |−7| > |3|, la suma final es negativa.
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| Respuesta | Se esperaría que la temperatura de Bangor, Maine sea de −4°F. | |
| Ejemplo | ||
| Problema | ¡Everett pagó algunas cuentas sin primero balancear su cuenta de cheques! Cuando el último cheque que escribió todavía no se deducía de su balance, la cuenta de Everett ya estaba sobregirada. El balance fue de −$201.35. El último cheque era por $72.66, y le cobraran otros $25 como cargos de sobregiro. ¿Cómo quedará el balance de la cuenta de Everett después de que el último cheque sea cargado? | |
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| −201.35 – 72.66 – 25 | El nuevo balance será el balance anterior de −$201.35, menos la cantidad de los cheques y el cargo por sobregiro. |
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| −201.35 – 72.66 – 25 −201.35 + (−72.66) – 25 | Empieza con la primera resta, −201.35 – 72.66. Reescríbela como la suma del opuesto de 72.66. |
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| −274.01 – 25 | Como los sumandos tienen el mismo signo, la suma es la suma de sus valores absolutos (201.35 + 72.66) con el mismo signo (negativo). |
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| −274.01 + (−25)
−274.01 + (−25) = −299.01 | Una vez más, reescribe la resta como la suma del opuesto.
Suma, con los valores absolutos y usa el mismo signo de los dos sumandos. |
| Respuesta | El balance de la cuenta de Everett será de $−299.01. | |
| Ejemplo | ||
| Problema | En invierno, Phil voló de Syracuse, NY a Orlando, FL. La temperatura en Syracuse era de −20°F. La temperatura en Orlando era de 75°F. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre Syracuse y Orlando? | |
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| 75 – (−20) | Para encontrar la diferencia entre las temperaturas, necesitas restar. Restamos la última temperatura de la primera temperatura para obtener el cambio de temperatura. |
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| 75 + 20
75 + 20 = 95 | Reescribe la resta como la suma del opuesto. El opuesto de −20 es 20.
Hay una diferencia de 95 grados entre 75° y −20°. |
| Respuesta | La diferencia de temperatura es de 95 grados. | |
| Louise notó que su balance en el banco era de −$33.72 antes de que el cheque de su salario fuera depositado. Después de que se depositara el cheque, el balance fue de $822.98. Si no hubo deducciones o depósitos. ¿Cuánto dinero le pagaron?
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Sumario
Restar un número es lo mismo que sumar su opuesto (también llamado inverso aditivo). Para restar puedes reescribir la resta como la suma del opuesto y luego usar las reglas de la suma de los números reales.
