Simplificando razones y tasas

 

Objetivos de aprendizaje

·         Escribir razones y tasas como fracciones en forma simplificada.

·         Encontrar tasas unitarias.

·         Encontrar precios unitarios.

 

Las razones se usan para comprar cantidades o describir la relación entre dos montos. Por ejemplo, una razón puede usarse para describir el costo de un mes de renta comparado con el salario ganado por mes. También puedes usar una razón para comparar el número de elefantes con el número total de animales en un zoológico, o la cantidad de calorías por porción de dos marcas diferentes de helado.

 

Las tasas son un tipo especial de razón usadas para describir la relación entre dos unidades de medida distintas, como la velocidad, ganancias, o precios. Un carro puede describirse como viajando a 60 millas por hora, un jardinero puede ganar $35 por cortar el pasto; la gasolina puede venderse a $3 por galón.

 

Las razones comparan cantidades usando la división. Esto significa que puedes describir una razón entre dos cantidades como una expresión de división entre esas mismas cantidades.

 

Aquí hay un ejemplo. Si tienes una charola que contiene 10 galletas de azúcar y 20 de chocolate, puedes comparar las galletas usando una razón.

 

La razón entre las galletas de azúcar y las galletas de chocolate es:

 

 

La razón entre las galletas de chocolate y las galletas de azúcar es:

 

 

 

 

Puedes escribir la razón usando palabras, una fracción, y también usando dos puntos como se muestra a continuación.

 

 

Algunas personas piensan ésta razón como: “Por cada 10 galletas de azúcar, tengo 20 galletas de chocolate.”

 

También puedes simplificar la razón de la misma manera que simplificas una fracción.

 

 

 

Entonces podemos decir que:

 

 

 

Cómo escribir una razón   Una razón puede escribirse de tres maneras diferentes:   ·         con la palabras “entre”, “y”: la razón entre 3 y 4. ·         como una fracción: . ·         con dos puntos: 3 : 4.   Una razón está simplificada si su fracción equivalente está simplificada.

 

A continuación se muestran dos ejemplos que ilustran cómo comparar cantidades usando una razón, y cómo expresar la razón en forma simplificada.

 

 

A veces, una cantidad en la razón es mayor que la otra cantidad. No es necesario que escribas la razón de tal manera que la menor quede al principio; lo importante es mantener la relación consistente.

 

 

Las razones pueden comparar una parte de una parte o una parte de un todo. Considera el ejemplo siguiente que describe los invitados a una fiesta.

 

 

 

Una encuesta en Forrester University encontró que 4,000 de cada 6,000 estudiantes son solteros. Encuentra la razón entre estudiantes solteros y estudiantes casados. Exprésala como una razón simplificada.   A) 3 a 2   B) 1 a 3   C) 2 a 1   D) 2 a 3   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 3 a 2 Incorrecto. La razón entre 3 y 2 compara el número total de estudiantes con el número total de estudiantes solteros. La respuesta correcta es 2 a 1.   B) 1 a 3 Incorrecto. La razón 1 a 3 compara el número de estudiantes casados con el número total de estudiantes. La respuesta correcta es 2 a 1.   C) 2 a 1 Correcto. Si 4,000 estudiantes de cada 6,000 son solteros, entonces 2,000 deben estar casados. La razón entre estudiantes solteros y casados puede representarse como 4,000 a 2,000, o simplemente 2 a 1.   D) 2 a 3 Incorrecto. La razón 2 a 3 compara el número de estudiantes solteros con el número total de estudiantes. La respuesta correcta es 2 a 1.

 

 

Una tasa es una razón que compara dos cantidades diferentes que tienen unidades de medida distintas. Una tasa es una comparación que provee información como dólares por hora, pies por segundo, millas por hora, y dólares por cuarto, por ejemplo. La palabra “por” normalmente indica que estás tratando con una tasa. Las tasas pueden escribirse usando palabras, usando dos puntos, o como una fracción. Es importante que sepas qué cantidades están siendo comparadas.

 

Por ejemplo, un empleador quiere rentar 6 autobuses para transportar un grupo de 300 personas para el paseo de la compañía. La tasa para describir la relación puede escribirse con palabras, usando dos puntos, o como una fracción; y debes incluir las unidades.

 

seis autobuses por cada 300 personas

 

 6 autobuses : 300 personas

 

 

Al igual que con las razones, la tasa se puede expresar en su forma simplificada al simplificar su fracción.

 

 

Ésta fracción significa que la tasa de autobuses por persona es 6 a 300 o, simplificada, 1 autobús por cada 50 personas.

 

 

 

 

 

Anyla monta su bicicleta por 18 cuadras durante 20 minutos. Expresa su tasa como una fracción simplificada.   A) 18:20   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 18:20 Incorrecto. El paseo de Anyla compara cantidades con unidades distintas, por lo que puede describirse como una tasa. Como las tasas comparan dos cantidades medidas con diferentes unidades, debes incluirlas. La respuesta correcta es .   B) Correcto. El paseo de Anyla compara cantidades con unidades distintas (cuadras y minutos) por lo que es una tasa y puede escribirse como . Ésta fracción puede simplificarse dividiendo el numerador y el denominador entre 2.   C) Incorrecto. 18 cuadras en 20 minutos no es equivalente a 10 cuadras en 9 minutos. Revisa de nuevo las unidades de tu respuesta. La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. El paseo de Anyla compara cantidades con unidades distintas, por lo que puede describirse con una tasa. Ésta es una representación correcta e incluye las unidades, pero puede ser simplificada. La respuesta correcta es .

 

 

Una tasa unitaria compara una cantidad a una unidad de medida. Normalmente ves la velocidad a la que viaja un objeto en términos de su tasa unitaria.

 

Por ejemplo, si quieres describir la velocidad de un niño montando su bicicleta — y has medido la distancia que viaja en millas en 2 horas — seguramente expresas la velocidad describiendo la distancia recorrida en una hora. Ésta es una tasa unitaria; proporciona la distancia viajada en una hora. El denominador de una tasa unitaria siempre es uno.

 

Considera el ejemplo de un carro que viaja 300 millas en 5 horas. Para encontrar la tasa unitaria, necesitas hallar el número de millas recorridas en una hora.

 

 

Una manera común de escribir ésta tasa unitaria es 60 millas por hora.

 

 

 

Un precio unitario es una tasa unitaria que expresa el precio de algo. El precio unitario siempre describe el precio de una unidad, para que puedas comparar precios fácilmente.

 

Seguro has notado que los estantes de las tiendas están marcados con el precio unitario (así como el precio total) de cada producto. El precio unitario hace más fácil para los compradores comparar los precios de distintas marcas y distintos tamaños de empaque.

 

Considera las dos canastillas de arándanos mostrados abajo. Podría ser difícil decidir cuál es más conveniente comprar con sólo ver los precios; la canastilla de la izquierda es más barata, pero tiene menos arándanos. Un mejor indicador del valor es el precio por onza de arándanos para cada canastilla.

 

Precio Unitario 25¢ por oz.   Precio Total $2.00 8 oz.	Precio Unitario 20¢ por oz.   Precio Total $2.40 12 oz.

 

Observa los precios unitarios — la canastilla de la derecha es una mejor oferta, ya que el precio por onza es más bajo que el precio unitario de la canastilla izquierda. Pagas más dinero por la canastilla más grande, pero te tocan más arándanos que con la canastilla pequeña. En pocas palabras, la canastilla de la derecha es mejor ganga que la canastilla de la izquierda.

 

Entonces, ¿cómo calculas el precio unitario?

 

Imagina que un comprador quiere usar los precios unitarios para comparar un paquete triple de pañuelos por $4.98 con un paquete individual de pañuelos por $1.60. ¿Cuál es mejor oferta?

 

Encontrar el precio unitario del paquete triple:

 

Como el precio está dado para 3 paquetes, divide el numerador y el denominador entre 3 para obtener el precio por paquete, el precio unitario. El precio unitario es de $1.66 por caja.

 

El precio unitario del paquete triple es de $1.66 por caja; compara éste precio con el precio de una caja individual a $1.60. ¡Resulta que la caja triple tiene un precio unitario mayor! Comprar la caja individual es más conveniente.

 

Al igual que las tasas, los precios unitarios normalmente se describen con la palabra “por.” Algunas veces, se utiliza una diagonal / que significa “por.” El precio de los pañuelos puede escribirse como $1.60/paquete, que se lee como “$1.60 por paquete.”

 

 

El siguiente ejemplo muestra cómo usar el precio unitario para comparar dos productos y determinar cuál tiene el precio más bajo.

 

 

 

Un comprador está comparando dos paquetes de arroz en una tienda. Un paquete de 10 libras cuesta $9.89 y un paquete de 2 libras cuesta $1.90. ¿Qué paquete tiene menor precio unitario a la centena más cercana? ¿Cuál es el precio unitario?   A) El paquete de 2 libras tiene el precio unitario más bajo de $.95/libras.   B) El paquete de 10 libras tiene el precio unitario más bajo de $0.99/libras.   C) El paquete de 10 libras tiene el precio unitario más bajo de $.95/libras.   D) El paquete de 2 libras tiene el precio unitario más bajo de $1.89/2 libras.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) El paquete de 2 libras tiene el precio unitario más bajo de $.95/libras. Correcto. El precio unitario por libra del paquete de 2 libras es $1.90 ÷ 2 = $0.95. El precio unitario por libra del paquete de 10 libras es $9.89 ÷ 10 = $0.989 que se redondea a $0.99.   B) El paquete de 10 libras tiene el precio unitario más bajo de $0.99/libras. Incorrecto. $9.89 ÷ 10 = $0.989 que se redondea a $0.99. $1.90 ÷ 2 = $0.95. El paquete de 2 libras tiene un precio unitario menor. La respuesta correcta es A A.   C) El paquete de 10 libras tiene el precio unitario más bajo de $.95/libras. Incorrecto. $9.89 ÷ 10 = $0.989 que se redondea a $0.99. La respuesta correcta es A.   D) El paquete de 2 libras tiene el precio unitario más bajo de $1.89/2 libras. Incorrecto. Un precio unitario es el precio por una unidad; en este caso necesitas encontrar el costo por una libra, no por dos. La respuesta correcta es A.

 

Las razones y tasas se usan para comparar cantidades y expresar relaciones entre cantidades medidas con las mismas unidades o con distintas. Ambas pueden escribirse como una fracción, usando dos puntos, o usando las palabras “entre, y” o “por”. Como las tasas comparan dos cantidades medidas con distintas unidades, como dólares por hora o días enfermo por año, siempre deben incluir sus unidades. Una tasa unitaria o precio unitario describe una tasa o precio por una unidad de medida.