Probabilidad y Eventos Dependientes

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Calcular la probabilidad de eventos dependientes.

 

Introducción

 

La probabilidad de cualquier tipo de evento — simple, compuesto, independiente, dependiente — siempre sigue la misma fórmula básica:

 

 

 

 

La probabilidad es la razón entre los tamaños de los espacios de eventos y muestral. Para algunas situaciones, como eventos dependientes e independientes, existen maneras de calcular estos números sin tener que pasar por el proceso de encontrar y contar los resultados posibles uno por uno, lo que es a veces tedioso y propenso a errores.

 

Probabilidad de Eventos Dependientes

 

Para encontrar la probabilidad de eventos dependientes, podemos usar la Principio Fundamental de Conteo o las fórmulas factoriales de las permutaciones y las combinaciones para encontrar los tamaños de los espacios de eventos y muestral.

 

El Principio Fundamental de Conteo encuentra el número de permutaciones y combinaciones de la siguiente manera:

 

Cuando se escogen k de n objetos, el número de permutaciones es

 

Cuando se escogen k de n objetos, el número de combinaciones es

 

Las fórmulas factoriales calculan permutaciones y combinaciones de esta manera:

 

Cuando se escogen k de n objetos, el número de permutaciones es

 

Cuando se escogen k de n objetos, el número de combinaciones es

 

 

Encontrar el espacio de eventos normalmente requiere un poco de reflexión e imaginación para identificar todas las maneras en las que un evento puede suceder.

 

Ejemplo

 

Problema

Sacas una canica de una bolsa con 20 canicas rojas, 20 blancas, y 10 verdes. Te quedas con la canica y sacas otra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una canica roja y luego sacar una canica verde?

 

 

 

permutación

 

Queremos sacar primero una canica roja y luego una canica verde, entonces el orden importa. Este es un problema de permutaciones

 

 

 

espacio muestral

= 2450

 

El tamaño del espacio muestral es el número de todas las permutaciones posibles de 2 canicas. La fórmula factorial para esto es . En este caso, estamos escogiendo 2 de 50 canicas, entonces n = 50 y k = 2. (Podrías usar también el Principio Fundamental de Conteo: Hay 50 opciones para la primera canica y 49 para la segunda.)

 

 

Rojo, Verde

 

El tamaño del espacio de eventos es el número de todas las posibles combinaciones para las cuales la primera canica es roja y la segunda es verde

 

 

20 • 10

 

espacio de eventos

= 200

 

 

 

¿Cuántas maneras hay de que esto pase? ¡No cometas el error de creer que sólo hay una: roja y verde! Hay 20 canicas rojas diferentes que pueden ser escogidas al principio. Luego hay 10 canicas verdes diferentes para escoger después. El Principio Fundamental de Conteo dice que multipliquemos estas para obtener el número de formas de sacar rojo y luego verde

 

 

Ahora la probabilidad de sacar roja y verde es la razón de todas las maneras de sacar esos dos colores en ese orden con todas las permutaciones posibles

Solución

La probabilidad de que salgan canicas roja y verde es .

 

 

 

Cuando buscamos un espacio de eventos, a veces es útil pensar en el evento que queremos como eliminando resultados particulares de eventos individuales. Luego tenemos que encontrar el número de permutaciones o combinaciones para el resto de los resultados. En el ejemplo anterior de las canicas, eliminado reojo para la primera sacada no cambió el número de canicas verdes que quedaban disponibles. Sin embargo, si queríamos la probabilidad de sacar una roja y luego otra rojo, existen 20 • 19 maneras de hacerlo cuando el orden importa.

 

Veamos el siguiente ejemplo que implica combinaciones

 

Ejemplo

 

Problema

Una organización de una escuela tiene 30 miembros. Cuatro miembros serán escogidos al azar para una entrevista con el periódico de la escuela sobre el grupo. ¿Cuál es la probabilidad de que Tom y Cindy sean escogidos?

 

 

 

 

combinación

 

No hay razón por la que una persona se considere diferente a otra, basados en el orden en que son escogidas, entonces los espacios de eventos y muestral involucran combinaciones y no permutaciones

 

 

 

 

El tamaño del espacio muestral es el número de todas las posibles combinaciones de 4 miembros. La fórmula para las combinaciones es . En este caso, estamos escogiendo 4 de 30 miembros, entonces n = 30 y k = 4. (También podrías usar el Principio Fundamental de Conteo para encontrar el numerador y el denominador.)

 

 

 

El tamaño del espacio de eventos es el número de todas las combinaciones posibles que incluyen a Tom y Cindy. 

 

 

 

Tom, Cindy, __?__, __?__

 

Encontrar otras 2 personas de las 28 restantes.

 

 

 

Si Tom y Cindy deben ser escogidos, entonces ya conocemos a 2 de nuestras 4 personas. Ahora el problema es ¿cómo podemos llenar esos 2 espacios con los otros 28 miembros? Este es un nuevo problema de combinaciones, escogiendo 2 de 28 miembros.

 

 

 

Para usar la fórmula, sea n = 28 y k = 2.

 

 

 

 

Ahora la probabilidad de que Tom y Cindy sean escogidos es la razón entre las combinaciones que los incluyen y todas las posibles combinaciones

 

Solución

La probabilidad de que Tom y Cindy sean escogidos es .

 

 

 

 

Este es un pequeño consejo de aritmética: podría ser más fácil simplificar la fracción de probabilidad dejando los tamaños muestral y de eventos en su forma factorizada. Por ejemplo:

 

 

Dividimos fracciones invirtiendo el divisor y multiplicando. Luego podemos eliminar factores comunes en el numerador y en el denominador:

 

 

 

 

 

 

Una bolsa de canicas tiene 20 canicas rojas, 20 blancas, y 10 verdes. Si sacamos tres canicas, ¿cuál es la probabilidad de que saquemos exactamente dos canicas rojas?

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Recuerda que hay muchas canicas de cada color, y cada una debe ser tratada como un resultado separado. El espacio de eventos es las combinaciones para las que hay dos canicas rojas y una que no es roja. Hay 20 opciones para la primera roja, 19 para la segunda roja, y 30 para la del otro color. Como el orden no importa, tenemos que dividir entre el número de maneras de arreglar las tres canicas. La respuesta correcta es .

 

B) Incorrecto. Esta es la probabilidad de escoger dos canicas rojas cuando sólo dos canicas son sacadas; es también la probabilidad que por lo menos dos canicas son escogidas. Para que dos de tres canicas sean rojas, el espacio de eventos es las combinaciones para el que hay dos canicas rojas y una que no es roja. La respuesta correcta es .

 

C) Incorrecto. Esta es la probabilidad de sacar tres canicas específicas (como una canica roja con una pequeña marca en forma de x, la blanca que rayó tu hermanito, y la blanca que se volvió amarilla con el tiempo). Para este problema, quieres que el espacio de eventos sea las combinaciones para las que hay dos canicas rojas (cualquiera de las 20) y una que no es roja. La respuesta correcta es .

 D) Correcto. El espacio de eventos es las combinaciones para las que hay dos canicas rojas y una que no es roja. Existen 20 opciones para la primera roja, 19 opciones para segunda roja, y 30 opciones para la de otro color. Como el orden no importa, tenemos que dividir el número de formas de arreglar las tres canicas. El tamaño del espacio de eventos es . El espacio muestral es todas las posibles combinaciones, que son La probabilidad es la razón del tamaño del espacio de eventos y el tamaño del espacio muestral, lo que se simplifica como .

 

 

 

Probabilidades de Eventos Dependientes e Independientes

 

Hemos estado usando el Principio Fundamental de Conteo y las fórmulas de permutación y combinación para calcular la probabilidad de una serie de eventos en su conjunto. También podemos calcular la probabilidad de un evento a la vez. Podemos usar la siguiente regla para calcular la probabilidad de eventos independientes:

 

Si A y B son eventos independientes, P(A y B) = P(A) • P(B).

 

En general, para cualquier número independiente de eventos, la probabilidad de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que los eventos individuales sucedan.

 

Entonces podemos encontrar la probabilidad de muchos eventos independientes encontrando la probabilidad de cada evento independiente, y luego multiplicándolas todas. Cada evento individual tendría la misma probabilidad incluso si ninguno de los otros eventos ocurre.

 

La probabilidad de eventos dependientes puede ser encontrada de una forma casi igual. Considera algunos de los eventos dependientes con los que hemos estado trabajando, como el ejemplo de las canicas. La probabilidad para ese ejemplo también implicaba productos.

 

 

Si vemos esto como tres eventos separados, ¿cuáles son las probabilidades individuales?

 

Primera sacada:

Segunda sacada:

Tercera sacada:

 

Nota el producto de estas probabilidades individuales:

 

 

¡Es el mismo resultado! Entonces somos capaces de calcular la probabilidad de una serie de eventos dependientes encontrando la probabilidad de cada evento individual y luego multiplicándolas juntas. Pero, las probabilidades individuales no son las mismas que si los eventos ocurrieran solos, como sería el caso con los eventos independientes. Con los eventos dependientes, las probabilidades de eventos posteriores son diferentes a las que serían si hubieran ocurrido por sí solos.

 

Si A y B son eventos dependientes, P(A y B) = P(A) • P(B después A) donde P(B después A) es la probabilidad de que ocurra B después de que A haya ocurrido.

 

En general, para cualquier número de eventos independientes, la probabilidad de que todos los eventos sucedan es el producto de las probabilidades de que sucedan los eventos individuales, siempre y cuando la ocurrencia de un evento anterior sea incluida cuando se encuentran las probabilidades de eventos posteriores.

 

 

Probemos este método con un problema:

 

Ejemplo

Problema

Te has sentado accidentalmente en tu teléfono celular, y cada vez que te mueves, se marcan número diferentes en tu agenda. Tienes guardados 16 números, y llamas a 4 de ellos antes de pararte. ¿Cuál es la probabilidad de que Mary, Lulu, Bo, y Dan hayan recibido una llamas?

 

 

Mary recibió una llamada

Lulu recibió una llamada

Bo recibió una llamada

Dan recibió una llamada

 

Primero definiremos los eventos individuales. El orden no importa

 

 

 

 

 

 

 

 

Ahora encontremos la probabilidad de cada evento. Para la primera llamada, hay 4 números en el espacio de eventos y 16 números de donde escoger, Si la primera llamada es para Mary, Lulu, Bo, o Dan, para la segunda llamada habrá 3 posibilidades de llamar a alguien en el evento y 15 números restantes que podrían ser llamados. Para la tercera llamada, habría 2 opciones de 14 números, y luego sólo 1 de 13 números para la última llamada.  

 

Usa estos números para encontrar las probabilidades de cada llamada.

 

 

 

 

 

La probabilidad de que los cuatro eventos ocurran es el producto de las probabilidades individuales.

 

 

 

Encontremos de nuevo la probabilidad usando la fórmula de las combinaciones. Queremos una combinación porque el orden no importa

 

 

 

El espacio muestral es el número de combinaciones de 4 teléfonos de 16. Aquí, k = 4 y n = 16.

 

 

 

 

El espacio de eventos es el número de combinaciones para escoger 4 de 4 teléfonos. Hay sólo una forma de hacer eso — ¡los 4 son llamados! Podemos probar esto con la fórmula (recuerda que 0! = 1).

 

 

 

La probabilidad es la razón de los tamaños del evento y la muestra

 

Nota que el resultado es el mismo que obtuvimos calculando individualmente

Solución

 

 

 

 

 

Un grupo de 8 amigos están jugando un juego de mesa en el que los jugadores compiten para llegar al último cuadro del tablero. Lo amigos van a reconocer al primer, segundo y tercer lugar.

 

Asumiendo que todos los jugadores tienen las mismas probabilidades de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que Juanita quede en primer lugar, y que Bill o Susan quede en segundo y Bill o Susan quede en tercero?

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Correcto. Tratando cada lugar como un evento separado, la probabilidad de que Juanita quede en primero es . Luego hay dos opciones de los 7 jugadores restantes para el segundo lugar, Bill o Susan, entonces la probabilidad es . Finalmente, queda sólo una opción para el tercer lugar: Bill o Susan, el que no haya quedado en segundo lugar. La probabilidad para eso es . La probabilidad de que Juanita quede en primero y que Bill y Susan queden en segundo y tercero (en cualquier orden) es .

 

B) Incorrecto. Esta es la probabilidad para que gente en particular quede en los tres lugares. Pero el segundo lugar podría ser tomado por Bill o Susan, por lo que hay 2 resultados en el espacio de eventos, no 1. La respuesta correcta es .

 

C) Incorrecto. Esta es la probabilidad de que Juanita quede en primero, pero ignora quién queda en segundo y tercero. La respuesta correcta es .

 

 D) Incorrecto. Esta sería la probabilidad si los eventos fueran independientes, pero no lo son, el espacio muestral decrece cada que alguien obtiene un lugar. La respuesta correcta es .

 

 

Sumario

 

Existen varias formas de encontrar las probabilidades de eventos dependientes. La secuencia de eventos puede ser tratada como un todo, en ese caso el Principio Fundamental de Conteo o las fórmulas de permutaciones y combinaciones son usadas para encontrar los tamaños del espacio de eventos y el espacio muestral.

 

O cada evento puede ser tratado separadamente, don de las probabilidades de cada evento son multiplicadas para encontrar la probabilidad de toda la cadena de eventos:

 

Si A y B son eventos dependientes, P(A y B) = P(A) • P(B después A) donde P(B después A) es la probabilidad de que ocurra B después de que A haya ocurrido.

 

Sin importar el método, debemos notar que cuando los eventos son dependientes, el tamaño de los espacios muestral y de eventos pueden cambiar con el tiempo, porque la ocurrencia de un evento afecta los resultados de otros eventos.