Razonamiento Inductivo
Objetivo de Aprendizaje
· Identificar y dar ejemplos de razonamiento inductivo.
El razonamiento inductivo es una herramienta matemática sofisticada, ¡aunque la hemos estado usando desde que éramos bebés! Cuando usamos el razonamiento inductivo, usamos nuestras experiencias y observaciones para sacar conclusiones sobre lo que sucederá en el futuro. Las primeras veces que dejamos caer algo cuando niños, el objeto cayó al suelo. Eventualmente, decidimos que este patrón continuaría, sin importar de qué objeto se trataba: las cosas caen. El razonamiento inductivo es una manera importante de descubrir cosas nuevas en matemáticas. Pero, ¿es así de simple?
Generalizando y Haciendo Conjeturas
Vamos a empezar observando los patrones en un diagrama. Tratemos de predecir cuáles serán las siguientes tres figuras en esta secuencia:
Para responder esto, debemos tomar varios pasos, pasos que conforman el proceso de razonamiento inductivo.
1. Primero, observa las figuras, busca similitudes y diferencias. En el ejemplo, hay dos colores, rojo y azul, y ambos se alternan. También, todas las figuras son triángulos que aparentemente tienen el mismo tamaño y forma, sólo girados de manera diferente.
2. Luego, generaliza estas observaciones. Cuando generalizamos, tomamos observaciones sobre algunos ejemplos y suponemos que todos los demás ejemplos funcionarán de la misma manera. En este caso, generalizar significa que asumimos que los patrones se repetirán — por ejemplo, que los colores continuarán siendo rojo y azul, y que continuarán alternándose.
3. Entonces, formamos una conjetura. Una conjetura es un intento de obtener una conclusión sobre los ejemplos basada en nuestra generalización .Las conjeturas no han sido probadas como correctas o incorrectas, y mientras que no sólo estemos adivinando, todas las conjeturas valen la pena. En este ejemplo, podemos conjeturar sobre el color y orientación de los triángulos que no podemos ver.
4. Finalmente, en algunas situaciones, podemos aplicar la conjetura para hacer una predicción sobre las siguientes figuras. Podríamos predecir que los siguientes triángulos serán azul, y luego rojo, y luego de nuevo azul. Si lo hicimos, estaríamos en lo correcto. Aquí están las siguientes 3 figuras en el patrón:
Usamos los mismos pasos cuando encontramos patrones en una tabla de datos o en una secuencia, que es una lista ordenada de objetos como números o diagramas. Aquí hay un ejemplo numérico:
| Ejemplo | |||
| Problema | Escribe una ecuación para el enésimo término en la secuencia 3, 5, 7, 9, 11, … y encuentra el valor del centésimo término . |
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| - Todos los términos son impares. - Cada término es mayor que el anterior. - La diferencia un término y el siguiente es 2. |
| Primero busca similitudes y diferencias entre los términos |
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| Asumir que cada término va a ser mayor por 2 que el término anterior. (Continuarán siendo impares). |
| Generalizar las observaciones |
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| Los siguientes términos serán 13, 15, y 17.
El término 1 es 3. El término 2 es 5. El término 3 es 7. El término 4 es 9.
Conforme sube la posición del término, el valor del término aumenta en 2.
Intenta multiplicando el término por 2: El término 1 nos da 2. El término 2 nos da 4. El término 3 nos da 6.
Cada uno de estos es demasiado bajo por 1: El término 4 es 2 • 4 + 1 = 9. ¡Funcionó!
El enésimo término tiene el valor 2n + 1. |
| Escribir la conjetura. Como el problema pide el enésimo término, queremos una expresión algebraica que conecte la posición del término en la secuencia con el valor del término |
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El centésimo término tiene el valor 2(100) + 1, o 201. |
| Haz la predicción requerida por el problema (este paso no siempre es necesario) |
| Solución | el enésimo término es 2n + 1, y el centésimo término es 201. |
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| Considera esta secuencia de números:
100, 97, 94, 91, 88, …
Haz una conjetura: ¿Cuál es el décimo término en esta secuencia? ¿Cuál es el enésimo término?
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Comprobando y Corrigiendo Conjeturas
Una cosa importante que recordar sobre las conjeturas es que podrían ser correctas o incorrectas. Al igual que cualquier declaración lógica, tómate un tiempo para buscar contraejemplos, y también verifica que los ejemplos e los que se basa la conjetura también son válidos..
Echa un vistazo a este ejemplo de una conjetura que falla:
Helen evaluó el polinomio n2 + 19n − 19 para diferentes valores de n y notó algo en los resultados:
| N | n2 + 19n − 19 |
| 1 | 1 |
| 2 | 23 |
| 3 | 47 |
| 4 | 73 |
| 5 | 101 |
Excepto por el 1, todos los valores de la columna n2 + 19n − 19 son primos. Helen generalizó que esto sucederá para todos los valores de n desde 2 hacia arriba, y escribió esta conjetura: Para cualquier número completo n donde n ≥ 2, el valor de n2 + 19n − 19 es primo.
Para probar su idea, Helen comprobó otros 10 números completos, del 6 al 15, ¡y los resultados fueron primos! Pero un amigo observó la ecuación y dijo, "Tienes 19s en la expresión. ¿Qué pasaría si n = 19? Entonces tendrías 192 + 19(19) − 19." =Puedes ver que esta expresión tendría un factor de 19? Su amigo descubrió un contraejemplo de la conjetura de Helen porque cuando n = 9 la expresión tiene el valor de 703, que no es primo porque 703 = 19 • 37.
Esta es una de las desventajas del razonamiento inductivo: Una conjetura encontrada usando el razonamiento inductivo puede no ser verdadera siempre. Esto es común cuando sobregeneralizamos, es decir, cuando usamos un pequeño número de observaciones y tratamos de aplicarlas a una situación mucho más amplia, Si todo lo que podemos hacer es probar ejemplos individuales, es difícil, si no imposible, decir que podría no haber contraejemplos que aún no hemos encontrado. Por ejemplo, ¿recuerdas la conjetura de la niñez de que los objetos siempre caerán cuando los sueltas? ¿Qué si el objeto es un globo lleno de helio?
Encontrar un contraejemplo no significa que debamos desesperar — podríamos usar esa nueva información para corregir nuestra conjetura.
| Ejemplo | ||||||||||||||||||||||||||||
| Problema | Deshawn observó los valores x, x2, y x3 y decidió que x ≤ x2 ≤ x3 para todos los números reales. Encuentra contraejemplos para refinar la conjetura de Deshawn.
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| La tabla sólo incluye números naturales para x, pero Deshawn sobregeneralizó los resultados para todos los números reales. La conjetura es verdadera para algunos números racionales (como x = 1.5), pero no para todos (como x = 0.5). No parece ser cierto para ningún número negativo | |||||||||||||||||||||||||
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| Para observar cuándo esta desigualdad es verdadera, graficar las funciones, y = x (en rojo), y = x2 (en azul), y y = x3 (en verde).
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| La desigualdad dice que la roja debe estar debajo de la azul y la verde, y la azul debe estar encima de la verde. Encuentra las áreas donde esto es verdadero
La roja está debajo de la azul cuando x < 0 y x > 1. Sin embargo, la verde está debajo (o toca) de la azul cuando x < 1. Por lo que los únicos valores cuando x < x2 < x3 son x > 1.
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| Solución | Contraejemplos: x = 0.5, x = -0.5, y x = -1.
Conjetura corregida: x ≤ x2 ≤ x3 para todos los números reales x ≥ 1. |
| Ya que la conjetura de Deshawn incluye x = x2 = x3, el valor x = 1 puede incluirse en la corrección | |||||||||||||||||||||||||
Identificando el Razonamiento Inductivo
Como las conjeturas basadas en razonamiento inductivo pueden o no ser verdaderas, es importante reconocer cuándo el razonamiento inductivo está siendo usado para hacer una conjetura. Luego podemos pensar más acerca de si la conjetura es razonable basándonos en las observaciones, ya sea que la conjetura sobregeneraliza esas observaciones, o que puedan existir contraejemplos que debamos buscar.
| Ejemplo | |||
| Problema | El cumpleaños de Jeanne cayó en Miércoles un año. Ella notó que el siguiente año caería en Jueves, y que caería en Viernes en dos años. Sin comprobarlo, ella dijo, "Mi cumpleaños volverá a caer en Miércoles dentro de siete años."
¿Está usando razonamiento inductivo? ¿Por qué o por qué no? |
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| Si Jeanne está usando el razonamiento inductivo depende del proceso que usa, no de si está en lo correcto o no.
Jeanne tiene: - Notó similitudes y diferencias en el día en que cae su cumpleaños cada año. Para los tres años que ella observó, notó que el día de la semana era el siguiente día para cada año. - Generalizó sus observaciones, asumiendo que el patrón continuaría. - Formó una conjetura. Aunque no lo dijo exactamente, su conjetura fue: Si mi cumpleaños es x años después de mi último cumpleaños, la próxima vez caerá x días de la semana después que en mi último cumpleaños.. Nota que ella incluso aplicó la conjetura para hacer una predicción (aunque eso no es necesario en el proceso de razonamiento inductivo).
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| Solución | Sí, ella usó el razonamiento inductivo. Hizo una conjetura sobre un patrón más grande y generalizó algunas observaciones específicas.
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(Por cierto, la conjetura de Jeanne es incorrecta. Un año bisiesto ocurre cada cuatro años y destruye el patrón.)
| Cuando intentaba graficar y = |-x|, Benny razonó de esta manera:
El valor absoluto sólo hace que el valor sea positivo o cero. Entonces, el resultado de |-x| es la versión positiva de x, o 0 si x = 0. Pero el resultado de |x| es también la versión positiva de x, o 0 si x = 0. Eso significa que |-x| = |x|. Entonces la gráfica de y = |-x| es la misma que la gráfica de y = |x|.
¿Esta Benny usando el razonamiento inductivo?
A) No B) Sí
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Sumario
El razonamiento inductivo es un tipo de razonamiento lógico que consiste en extraer una conclusión general, llamada conjetura, a partir de un conjunto de observaciones específicas. En este proceso, ejemplos específicos son examinados para encontrar un patrón, y entonces el patrón es generalizado asumiendo que continuará en ejemplos no estudiados. Entonces pueden hacerse conjeturas y predicciones. Las conjeturas podrían no ser ciertas, especialmente si un patrón ha sido sobregeneralizado, es decir, aplicado a un conjunto más grande de circunstancias que las sostenidas por las observaciones. Si se encuentran contraejemplos de la conjetura, puede ser posible corregirla para que sea siempre verdadera.
