Conjuntos de Números

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Identificar y definir los números, naturales, completos, enteros, racionales, irracionales y reales.

 

 

Los matemáticos reconocen varios conjuntos de números que comparten ciertas características. Estas categorías son útiles cuando ciertos tipos de números son válidos para valores y variables. Nuestro entendimiento y clasificación de los diferentes conjuntos de números se ha desarrollado durante miles de años

 

 

Las primeras civilizaciones encontraron formas diferentes para escribir números, pero todas empezaron con el mismo conjunto de números que los niños de primaria aprenden hoy; los números naturales (también llamados números de conteo). Estos son los números 1, 2, 3, etc. — los números que usamos cuando contamos. Son naturales porque nuestro entendimiento de los números empieza con el reconocimiento de múltiples copias de cosas, como cuántos dedos tenemos, o el tamaño de conjuntos, como cuántos juguetes tenemos.

 

Aunque las civilizaciones más antiguas entendían "nada" — sabían cuando no tenían ninguna vaca, ni hijos, por supuesto — el número cero tiene una historia interesante. El primer uso de un símbolo para representar "nada" no fue sino hasta el siglo 3 AC. El sistema numérico Babilonio usaba los símbolos sólo como un marcador de posición en un sistema basado en posiciones, similar a la forma en que hoy usamos el 0 en el número 702 para representar no decenas. El primer reconocimiento del 0 como número, en la misma forma que 1 y 23 son números es incierto, pero puede datarse en el siglo 9 en India. Cuando se suma el 0 al conjunto de 1, 2, 3, etc., para formar los números completos. Estos se llaman "completos" porque no contienen fracciones.

 

Los enteros son números completos más sus contrapartes negativas: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Los números negativos aparecieron en China alrededor del siglo primero AC. (¡Eso es 1000 años antes que se reconociera al cero como número!) Sin embargo, a pesar de su utilidad para representar conceptos como deuda, no fue sino hasta el siglo 18 — hace menos de 300 años — que ganaron aceptación general como números.

 

¿A cuál de los siguientes conjuntos pertenece el número 0?   números naturales números completos enteros   A) Sólo a los números naturales B) Sólo a los números completos C) A los números naturales y a los números completos D) Sólo a los números enteros E) A los números completos y a los números enteros                   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. Los números naturales son 1, 2, 3, etc. No incluyen el 0. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros.   B) Incorrecto. Si bien los números completos incluyen al 0, también los números enteros. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros.   C) Incorrecto. Los números naturales son 1, 2, 3, etc. No incluyen el 0. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros.   D) Incorrecto. Si bien los números enteros incluyen al 0, también los números completos. La respuesta correcta es a los números completos y a los números enteros.   E) Correcto. Los números completos y los números enteros incluyen al 0, pero los números naturales no.

 

 

 

Los números fraccionarios han existido desde antes que los números negativos y el cero. Los Egipcios antiguos (a partir del siglo 21 AC) estudiaron las fracciones. Hoy en día, los números fraccionarios están incluidos en el conjunto de los números racionales, que son los números que se pueden escribir de la forma  donde p y q son enteros. Los números racionales pueden escribirse de muchas formas. Por ejemplo,  también puede escribirse como , 5.66…, o . Sin importar la forma en que sea usado, ya que este número puede ser escrito como el radio de dos enteros, el número es racional.

 

Nota que todos los enteros (y eso significa todos los números completos y números naturales) son números racionales porque pueden escribirse usando 1 como el denominador q. Por ejemplo, -3 puede escribirse como , por lo que también es un número racional.

 

Hasta ahora, los tipos de números que hemos descrito forman una serie de conjuntos anidados. Empezamos con los números naturales, luego expandimos ese conjunto con el 0 para formar los números completos. Luego incluimos los números negativos con los números completos para crear los enteros. Ahora tenemos los números racionales, los cuales incluyen a todos los enteros además de muchos otros números. El diagrama muestra cómo este conjunto de números está "anidado":

 

 

 

 

El matemático Griego Pitágoras, de quien toma el nombre el Teorema de Pitágoras, era el líder de un grupo conocido como los Pitagóricos. Ellos creían que todas las cantidades podían ser expresadas con un número natural o una relación entre los números naturales. Cuenta la leyenda que creían esto tan fervientemente que cuando uno de sus miembros usó el Teorema de Pitágoras para demostrar que la hipotenusa del siguiente triángulo no puede ser expresada como el radio de números naturales, lo exiliaron. (O peor — algunas historias dicen que lo echaron por la borda cuando estaban en el mar y lo vieron ahogarse!)

 

Ahora sabemos que los Pitagóricos estaban equivocados, y que sí hay cantidades que no son racionales. Estos números irracionales no pueden ser expresados como el radio de enteros. Cualquier raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto, por ejemplo , es irracional.

 

 

 

Los números irracionales se escriben comúnmente como una de tres formas: como una raíz, usando un símbolo especial (como ), o como un decimal que no se repite y nunca termina.

 

Los números con una parte decimal pueden terminar o no terminar. Terminar significa que los dígitos eventualmente se detienen (aunque podemos escribir ceros al final). Un decimal que no termina tiene dígitos (diferentes de 0) que continúan para siempre. Por ejemplo, considera la forma decimal de , que es 0.3333…. Los 3s continúan indefinidamente. O la forma decimal de    , que es 0.090909…: la secuencia "09" continúa para siempre.

 

Además de no terminar, estos dos números son también decimales repetidos. Sus partes decimales están hechas de un número o secuencia de números que se repiten una y otra vez. Un decimal es no repetido si sus dígitos jamás forman un patrón repetitivo. El valor de , por ejemplo, es 1.414213562…. No importa qué tan lejos sigamos los números, los dígitos jamás repetirán la secuencia previa.

 

Si un número termina o se repite, debe ser racional; si no termina y no se repite, el número es irracional.

 

Considera un decimal que termina (o decimal terminal), como el 3.529. Como el número tiene un decimal que termina, no es un número racional. Podemos escribir 3.529 como el radio de dos enteros: el numerador es el número sin el punto decimal (en este caso 3,529) y el denominador es una potencia de 10 correspondiente al valor del lugar del último dígito. Como el 9 está en el lugar de las unidades de millar, el denominador es 1,000. (Otra forma de hacer esto es contar los lugares del punto decimal hacia la derecha del punto decimal en el número original. El denominador es 1 seguido de esa cantidad de 0s. Hay tres dígitos a la derecha del punto decimal en 3.529, por lo que el denominador es 1 seguido de tres 0s.)

 

 

Aquí hay otro ejemplo:

 

 

 

¿Y qué pasa si hay un decimal que no termina y que se repite? Aquí hay un método para expresar un decimal que se repite como el radio de enteros. Funciona con todos los decimales que se repiten:

 

1.      Escribir una ecuación, x = el número con una barra sobre la porción que se repite.

2.      Contar cuántos dígitos están en la porción del decimal que se repite, y multiplicar ambos lados de la ecuación del paso 1 por 10 elevado a esa potencia para crear una segunda ecuación. (Por ejemplo, si hay 3 dígitos que se repiten, multiplicar por 10³ o 1000.) Mantener la porción que se repite, incluso si pudieras recorrer la barra de repetición.

3.      Restar la ecuación del paso 1 de la ecuación del paso 2. Al hacer esto, las partes del decimal que se repiten se van a alienar. Todos los dígitos desde ese punto serán 0s.

4.      Dividir ambos lados de la nueva ecuación del paso 3 entre el coeficiente de x.

5.      Multiplicar en numerador y el denominador por 10 hasta que todos los decimales sean removidos, o reescribir el número en términos más bajos.

 

Intentémoslo para ver si tiene sentido:

 

 

¡Funcionó! Pudimos escribir un decimal que no termina pero se repite como el radio de dos enteros. Eso prueba que el número es racional.

 

El número  ¿es racional o irracional?   A) Racional B) Irracional   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Correcto. El decimal no termina, pero se repite, por lo que puede escribirse como el radio de dos enteros.   B) Incorrecto. A pesar de que el decimal no termina, sí se repite. Decimales que se repiten pueden escribirse como el radio de enteros. El número es racional.

 

 

El conjunto de los números reales se forma al combinar el conjunto de números racionales y el conjunto de números irracionales. El conjunto de números reales consiste en todos los números que tienen un lugar en la recta numérica.     

 

Conjuntos de números   Números naturales                   1, 2, 3, …   Números completos                 0, 1, 2, 3, …   Enteros                                    …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Números racionales                cualquier número que pueda ser expresado de la forma , donde p y q son enteros, los números racionales terminan o se repiten cuando son escritos en forma decimal   Números irracionales              cualquier número que pueda ser expresado de la forma ,(donde p y q son enteros), los números irracionales no terminan y no se repiten cuando son escritos en forma decimal   Números reales                       cualquier número que sea racional o irracional

 

El diagrama siguiente muestra cómo todos los números reales se relacionan uno con otro. Nota que no hay superposición entre los números racionales y los números irracionales, y que ambos conjuntos forman los números reales.

 

 

 

 

Los números que pueden ser representados en la recta numérica se llaman números reales. Estos números pueden ser separados en dos conjuntos que no tienen números en común: los números irracionales y los números racionales. Los números irracionales tienen formas decimales que no terminan ni se repiten. Los números racionales tienen formas decimales que terminan o se repiten. Dentro del conjunto de números racionales existen varios conjuntos más pequeños y que están anidados: los números enteros, números completos, y números naturales

 

Los conjuntos de números se definen como sigue:

 

Números reales	cualquier número que sea racional o irracional
Números racionales	cualquier número que se puede escribir como el radio de dos enteros y que termina o se repite en su forma decimal
Enteros	…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Números completos	0, 1, 2, 3, …
Números naturales	1, 2, 3, …
Números irracionales	cualquier número que no se puede escribir como el radio de dos enteros y que no termina ni se repite en su forma decimal