Sumando y Restando Expresiones Racionales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Sumar, restar y simplificar expresiones racionales.

 

Introducción

 

Al inicio de un curso de matemáticas, los estudiantes usualmente aprenden a sumar y restar números enteros antes de que les enseñen la multiplicación y la división. Sin embargo, con fracciones y expresiones racionales, algunas veces la multiplicación y la división son enseñadas primero porque estas operaciones son más fáciles de realizar que la suma y la resta. La suma y resta de expresiones racionales son un poco más difíciles que la multiplicación porque, como con las fracciones numéricas, el proceso envuelve encontrar denominadores comunes. Trabajando con cuidado y escribiendo los pasos durante el proceso, podemos mantener un seguimiento de todos los números y variables y realizar las operaciones con precisión

 

Sumando y Restando Expresiones Racionales con Denominador Común

 

Seguimos el mismo proceso para sumar expresiones racionales que el que usamos para combinar fracciones numéricas. Para sumar fracciones con denominadores comunes, sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Después de sumar, expresamos la fracción en términos simples:

 

 

 

Seguimos el mismo proceso para sumar expresiones racionales con denominadores comunes, pero también debemos describir el dominio, para establecer todos los valores posibles de las variables. Los valores excluidos del dominio son cualquier valor de variable que resulte en alguno de los denominadores igual a 0.

 

Intentemos una:

 

Ejemplo

Problema

Sumar, simplificar, y encontrar el dominio de

 

 

x + 4 = 0

 

x = -4

 

Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo x

 

 

Como los denominadores son iguales, sumar los numeradores

 

 

 

 

Factorizar el numerador

 

 

Reescribir el factor común como una multiplicación por 1

Solución

 

2x, x -4

 

 

 

Para restar expresiones racionales con denominadores comunes, seguimos el mismo proceso que usamos para restar fracciones con denominadores comunes. El proceso es igual que el de la suma de expresiones racionales, excepto que restamos.

 

Ejemplo

Problema

Restar, simplificar, y encontrar el dominio de

 

 

x + 6 = 0

x = -6

-6 es un valor excluido

 

Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo x

 

 

 

Restar el segundo numerador del primero, y mantener el mismo denominador

 

 

 

Tener cuidado de distribuir el negativo a ambos términos del segundo numerador

 

 

 

Notar que -7 – (-8) = -7 + 8 = 1

 

Esta es la respuesta final porque la expresión racional no puede simplificarse

Solución

 , x

 

 

 

 

Simplificar

 

A)  ,  x5

B) x + 5, x5

C) x – 5, x5

D) x + 5, x -5 o 5

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Realizaste la resta apropiadamente y encontrase el valor excluido correcto, pero esta expresión racional puede ser simplificada porque el numerador y el denominador tienen el factor común f (x – 5). La respuesta correcta es x + 5, x5.

 

B) Correcto. Como existe un común denominador, podemos restar los numeradores para obtener . El numerador puede ser factorizado y un factor común de (x – 5) está presente en el numerador y en el denominador. . El valor 5 es excluido porque volvería el denominador igual a 0.

 

C) Incorrecto. El factor común presente en el numerador y el denominador es x – 5, no x + 5. . La respuesta correcta es x + 5, x5.

 

D) Incorrecto. El único valor excluido es x = 5 porque esta valor de x haría el denominador igual a 0. -5 no es un valor excluido porque -5 – 5 = -10, el cual es un valor aceptable como denominador. -5 haría el numerador igual a 0, pero ese no es problema. (0 en el numerador hace que la expresión racional sea igual a 0.) La respuesta correcta es x + 5, x5.

 

 

Sumando y Restando Expresiones Racionales con Denominador Distinto

 

Antes de sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos, necesitamos encontrar un común denominador. Este proceso es similar al que usamos para sumar y restar fracciones numéricas con denominadores distintos. Veamos un ejemplo numérico para empezar.

 

 

Como los denominadores son 6, 10, y 4, queremos encontrar el mínimo común denominador y expresar cada fracción con este denominador antes de sumar. (Por cierto, puedes sumar fracciones usando cualquier común denominador; no tiene que ser el mínimo. Nos enfocamos a usar el mínimo porque entonces habrá menos que simplificar. Pero cualquiera funciona.)

 

Encontrar el mínimo común denominador es igual que encontrar el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 10. Hay un par de maneras para hacer esto. La primera es enlistar los múltiplos de cada número y determinar cuáles múltiplos tienen en común. El más pequeño de esos números será el mínimo común denominador.

 

Número

Múltiplos

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

 

6

12

18

24

30

36

42

48

54

60

66

72

 

 

 

 

 

10

20

30

40

50

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

El otro método es usar la factorización prima, el proceso de encontrar los factores primos de un número. Así es como funciona el método con números:

 

Ejemplo

Problema

Usar factorización prima para encontrar el mínimo común múltiplo de 6, 10, y 4

 

 

6 = 3 2

10 = 5 2

4 = 2 2

 

Primero, encontrar los factores primos de cada denominador

 

 

3 • 5 • 2 • 2

 

 

Multiplicar todos los factores primos. Usar cada número el máximo número de veces que aparece en una sola factorización

 

En este caso, 2 es usado dos veces porque aparece dos veces en la factorización prima de 4

Solución

60

 

 

 

 

Encontramos el mismo mínimo común múltiplo con ambos métodos. La factorización prima fue más rápida, porque no necesitamos hacer una tabla llena de múltiplos.

 

Continuemos. Ahora que hemos encontrado el mínimo común múltiplo, usaremos ese número como el mínimo común denominador de nuestras fracciones. Vamos a multiplicar cada fracción por la forma fraccionaria de 1 que producirá el denominador 60:

 

 

 

 

Ahora que tenemos denominadores comunes, podemos fácilmente sumar las fracciones:

 

 

También podemos encontrar el mínimo común denominador de una expresión racional, y usarlo para poder sumar expresiones racionales con denominadores distintos.

 

Ejemplo

 

Problema

Sumar

 

 

15m2n3 = 0

m = 0 o n = 0

 

21mn2 = 0

m = 0 o n = 0

 

Encontrar valores excluidos

 

15m2n3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n

 

21mn2 = 3 • 7 • m • n • n

 

 

Encontrar los factores primos de cada denominador

 

 

3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

 

 105m2n3

 

 

Encontrar el mínimo común múltiplo. 3 aparece una vez en ambas expresiones, entonces aparecerá una vez en el mínimo común denominador. 5 y 7 aparecen por lo menos una vez. Para las variables, m aparece dos veces, y n aparece tres veces

 

15m2n3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n

105m2n3 = 3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

 

 =

 

 

21mn2 = 3 • 7 • m • n • n

105m2n3 = 3 • 5 • 7 m • m • n • n • n

 

 =  

 

 

Reescribir las expresiones racionales para que cada una tengan el denominador 105m2n3

 

Comparar los factores primos con cada denominador y con el común denominador; para obtener el común denominador, multiplicar el denominador original por cualquier factor necesario

 

 

 

 

 

Sumar los numeradores y mantener el mismo denominador

 

 

 

 

 

 

Simplificar encontrando factores comunes en el numerador y denominador

Solución

 

, m 0 y n 0.

 

 

 

 

 

Tomó un rato, pero lo logramos. Sumar expresiones racionales puede ser un proceso largo, pero si lo hacemos paso a paso, lo terminamos.

 

¿Listo para intentar restar expresiones racionales? Usaremos la misma técnica básica de encontrar el mínimo común denominador y reescribir cada expresión racional para que tengan el mismo denominador.

 

Ejemplo

Problema

Restar  y encontrar los valores excluidos

 

 

 

t + 1 = 0

t = -1

 

t2t – 2 = (t – 2)(t + 1) = 0

t  = -1, 2

 

 

Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo

 

t + 1 = t + 1

 

t2t – 2 = (t -2)(t + 1)

 

 

Encontrar el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador

 

Como t + 1 ya es factor de

t2t – 2, el mínimo común denominador es (t + 1)(t -2).

 

 

 

 

 

Multiplicar la primera expresión por el equivalente de 1 para asignarle un común denominador

 

Luego reescribir las expresiones racionales con el común denominador

 

 

 

 

 

 

 

Restar los numeradores y simplificar

 

 

 

 

El numerador y el denominador tienen el factor común t – 2, y por eso la expresión racional puede ser simplificada

Solución

, t -1 o 2

 

 

 

 

Hasta ahora todas las expresiones racionales que hemos sumado y restado tienen algunos factores comunes, ¿Qué pasa cuando no tienen factores en común?

 

Ejemplo

Problema

Restar   y encontrar los valores excluidos

 

 

 

2y – 1 = 0

y =

 

y5 = 0

y = 5

 y 5 son valores excluidos

 

Encontrar los valores excluidos

 

 

denominador común = (2y - 1)(y - 5)

 

Encontrar el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador

 

Ni 2y – 1 ni y – 5 pueden ser factorizados. Porque no tienen factores comunes, el mínimo común denominador es el producto de estos denominadores

 

 

 

 

 

 

Multiplicar cada expresión por el equivalente de 1 que les asignará el común denominador

 

Luego reescribir las expresiones racionales con el común denominador.

 

 

Restar los numeradores

 

 

 

Simplificar

Solución

, y  , 5

 

 

 

 

Simplificar  y encontrar los valores excluidos.

 

A)  

 

B) , x -

 

C) , x -4, 0, 3

 

D) , x -4, 3

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. El enfoque es correcto, pero la respuesta está incompleta. El numerador de la expresión radical puede ser simplificado multiplicando y combinando términos comunes. Además, la respuesta debería mostrar los valores excluidos. La repuesta correcta es , x -4, 3.

 

B) Incorrecto. Para sumar expresiones racionales con denominadores distintos, debes primero encontrar un común denominador. El común denominador para estas expresiones racionales es (x + 4)(x – 3) porque los denominadores no tienen ningún factor común. Escribe ambos sumandos con un denominador común, , y luego simplifica. Para encontrar los valores excluidos, observa la expresión original así como los denominadores durante el procedimiento. La respuesta correcta es , x -4, 3.

 

C) Incorrecto. Sólo puedes simplificar el numerador y el denominador cuando existen factores similares y no términos similares. No puedes cancelar los términos x2 y 12s. La respuesta correcta es , x -4, 3.

 

D) Correcto. Primero encuentras un común denominador, (x + 4)(x – 3), y reescribes cada sumando usando ese denominador: . Multiplicas y sumas los numeradores: . La respuesta correcta es , x -4, 3.

 

 

Sumario

 

Para sumar y restar expresiones racionales, aplicamos la misma idea usada para sumar y restar fracciones: primero encontramos un común denominador. El mínimo común denominador es el mismo que el mínimo común múltiplo y puede ser encontrado enlistando múltiplos de cada denominador o usando factorización prima.

 

Cuando trabajamos con expresiones racionales, es importante mencionar los valores excluidos del dominio en la respuesta.