Sumando y Restando Expresiones Racionales
Objetivo de Aprendizaje
· Sumar, restar y simplificar expresiones racionales.
Introducción
Al inicio de un curso de matemáticas, los estudiantes usualmente aprenden a sumar y restar números enteros antes de que les enseñen la multiplicación y la división. Sin embargo, con fracciones y expresiones racionales, algunas veces la multiplicación y la división son enseñadas primero porque estas operaciones son más fáciles de realizar que la suma y la resta. La suma y resta de expresiones racionales son un poco más difíciles que la multiplicación porque, como con las fracciones numéricas, el proceso envuelve encontrar denominadores comunes. Trabajando con cuidado y escribiendo los pasos durante el proceso, podemos mantener un seguimiento de todos los números y variables y realizar las operaciones con precisión
Seguimos el mismo proceso para sumar expresiones racionales que el que usamos para combinar fracciones numéricas. Para sumar fracciones con denominadores comunes, sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador. Después de sumar, expresamos la fracción en términos simples:
Seguimos el mismo proceso para sumar expresiones racionales con denominadores comunes, pero también debemos describir el dominio, para establecer todos los valores posibles de las variables. Los valores excluidos del dominio son cualquier valor de variable que resulte en alguno de los denominadores igual a 0.
Intentemos una:
Ejemplo | ||||
Problema | Sumar, simplificar, y encontrar el dominio de |
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| x + 4 = 0
x = -4 |
| Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo x | |
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| Como los denominadores son iguales, sumar los numeradores | |
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Factorizar el numerador | |
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| Reescribir el factor común como una multiplicación por 1 | |
Solución |
2x, x -4 |
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Para restar expresiones racionales con denominadores comunes, seguimos el mismo proceso que usamos para restar fracciones con denominadores comunes. El proceso es igual que el de la suma de expresiones racionales, excepto que restamos.
Ejemplo | ||||
Problema | Restar, simplificar, y encontrar el dominio de |
| ||
| x + 6 = 0 x = -6 -6 es un valor excluido |
| Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo x | |
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| Restar el segundo numerador del primero, y mantener el mismo denominador | |
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| Tener cuidado de distribuir el negativo a ambos términos del segundo numerador | |
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| Notar que -7 – (-8) = -7 + 8 = 1
Esta es la respuesta final porque la expresión racional no puede simplificarse | |
Solución | , x |
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Simplificar
A) , x5 B) x + 5, x5 C) x – 5, x5 D) x + 5, x -5 o 5
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Sumando y Restando Expresiones Racionales con Denominador Distinto
Antes de sumar y restar expresiones racionales con denominadores distintos, necesitamos encontrar un común denominador. Este proceso es similar al que usamos para sumar y restar fracciones numéricas con denominadores distintos. Veamos un ejemplo numérico para empezar.
Como los denominadores son 6, 10, y 4, queremos encontrar el mínimo común denominador y expresar cada fracción con este denominador antes de sumar. (Por cierto, puedes sumar fracciones usando cualquier común denominador; no tiene que ser el mínimo. Nos enfocamos a usar el mínimo porque entonces habrá menos que simplificar. Pero cualquiera funciona.)
Encontrar el mínimo común denominador es igual que encontrar el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 10. Hay un par de maneras para hacer esto. La primera es enlistar los múltiplos de cada número y determinar cuáles múltiplos tienen en común. El más pequeño de esos números será el mínimo común denominador.
Número | Múltiplos | |||||||||||||||
4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 |
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6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 | 66 | 72 |
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10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
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El otro método es usar la factorización prima, el proceso de encontrar los factores primos de un número. Así es como funciona el método con números:
Ejemplo | ||||
Problema | Usar factorización prima para encontrar el mínimo común múltiplo de 6, 10, y 4 |
| ||
| 6 = 3 • 2 10 = 5 • 2 4 = 2 • 2 |
| Primero, encontrar los factores primos de cada denominador | |
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3 • 5 • 2 • 2
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| Multiplicar todos los factores primos. Usar cada número el máximo número de veces que aparece en una sola factorización
En este caso, 2 es usado dos veces porque aparece dos veces en la factorización prima de 4 | |
Solución | 60 |
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Encontramos el mismo mínimo común múltiplo con ambos métodos. La factorización prima fue más rápida, porque no necesitamos hacer una tabla llena de múltiplos.
Continuemos. Ahora que hemos encontrado el mínimo común múltiplo, usaremos ese número como el mínimo común denominador de nuestras fracciones. Vamos a multiplicar cada fracción por la forma fraccionaria de 1 que producirá el denominador 60:
Ahora que tenemos denominadores comunes, podemos fácilmente sumar las fracciones:
También podemos encontrar el mínimo común denominador de una expresión racional, y usarlo para poder sumar expresiones racionales con denominadores distintos.
Ejemplo |
| |||
Problema | Sumar |
| ||
| 15m2n3 = 0 m = 0 o n = 0
21mn2 = 0 m = 0 o n = 0 |
| Encontrar valores excluidos | |
| 15m2n3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n
21mn2 = 3 • 7 • m • n • n
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| Encontrar los factores primos de cada denominador | |
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3 • 5 • 7 • m • m • n • n • n
105m2n3
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| Encontrar el mínimo común múltiplo. 3 aparece una vez en ambas expresiones, entonces aparecerá una vez en el mínimo común denominador. 5 y 7 aparecen por lo menos una vez. Para las variables, m aparece dos veces, y n aparece tres veces | |
| 15m2n3 = 3 • 5 • m • m • n • n • n 105m2n3 = 3 • 5 • 7 • m • m • n • n • n
=
21mn2 = 3 • 7 • m • n • n 105m2n3 = 3 • 5 • 7 • m • m • n • n • n
=
|
| Reescribir las expresiones racionales para que cada una tengan el denominador 105m2n3
Comparar los factores primos con cada denominador y con el común denominador; para obtener el común denominador, multiplicar el denominador original por cualquier factor necesario | |
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Sumar los numeradores y mantener el mismo denominador
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| Simplificar encontrando factores comunes en el numerador y denominador | |
Solución |
, m 0 y n 0.
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Tomó un rato, pero lo logramos. Sumar expresiones racionales puede ser un proceso largo, pero si lo hacemos paso a paso, lo terminamos.
¿Listo para intentar restar expresiones racionales? Usaremos la misma técnica básica de encontrar el mínimo común denominador y reescribir cada expresión racional para que tengan el mismo denominador.
Ejemplo | ||||
Problema | Restar y encontrar los valores excluidos
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| ||
| t + 1 = 0 t = -1
t2 – t – 2 = (t – 2)(t + 1) = 0 t = -1, 2
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| Determinar los valores excluidos igualando el denominador a 0 y resolviendo | |
| t + 1 = t + 1
t2 – t – 2 = (t -2)(t + 1)
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| Encontrar el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador
Como t + 1 ya es factor de t2 – t – 2, el mínimo común denominador es (t + 1)(t -2).
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| Multiplicar la primera expresión por el equivalente de 1 para asignarle un común denominador
Luego reescribir las expresiones racionales con el común denominador
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| Restar los numeradores y simplificar | |
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| El numerador y el denominador tienen el factor común t – 2, y por eso la expresión racional puede ser simplificada | |
Solución | , t -1 o 2 |
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Hasta ahora todas las expresiones racionales que hemos sumado y restado tienen algunos factores comunes, ¿Qué pasa cuando no tienen factores en común?
Ejemplo | |||
Problema | Restar y encontrar los valores excluidos |
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| 2y – 1 = 0 y =
y – 5 = 0 y = 5 y 5 son valores excluidos |
| Encontrar los valores excluidos |
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denominador común = (2y - 1)(y - 5) |
| Encontrar el mínimo común múltiplo factorizando cada denominador
Ni 2y – 1 ni y – 5 pueden ser factorizados. Porque no tienen factores comunes, el mínimo común denominador es el producto de estos denominadores |
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–
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| Multiplicar cada expresión por el equivalente de 1 que les asignará el común denominador
Luego reescribir las expresiones racionales con el común denominador. |
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| Restar los numeradores |
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Simplificar |
Solución | , y , 5 |
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Simplificar y encontrar los valores excluidos.
A)
B) , x -
C) , x -4, 0, 3
D) , x -4, 3
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Sumario
Para sumar y restar expresiones racionales, aplicamos la misma idea usada para sumar y restar fracciones: primero encontramos un común denominador. El mínimo común denominador es el mismo que el mínimo común múltiplo y puede ser encontrado enlistando múltiplos de cada denominador o usando factorización prima.
Cuando trabajamos con expresiones racionales, es importante mencionar los valores excluidos del dominio en la respuesta.