Resolviendo Ecuaciones Cuadráticas Usando la Fórmula Cuadrática

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula cuadrática.

 

 

Podemos resolver cualquier ecuación cuadrática completando el cuadrado — convirtiendo un polinomio en un trinomio cuadrado perfecto. Si completamos el cuadrado en la ecuación genérica  y luego resolvemos x, encontramos que .  Esta ecuación un poco extraña se conoce como fórmula cuadrática.

 

Esta fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o imposibles de factorizar, y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. La fórmula cuadrática puede ser usada para resolver cualquier ecuación cuadrática de la forma .

 

 

Vamos a completar el cuadrado en la ecuación general, , para ver exactamente cómo se produce la fórmula cuadrática. Recuerda el proceso de completar el cuadrado:

 

·         Empezar con una ecuación de la forma .

 

·         Reescribir la ecuación de forma que  quede despejada.

·         Completar el cuadrado sumando a ambos lados.

·         Reescribir como el cuadrado de un binomio y resolver x.

 

¿Puedes completar el cuadrado en la ecuación cuadrática general ? Inténtalo antes de continuar con el siguiente ejemplo. Pista: Cuando trabajas con la ecuación general , existe una complicación que consiste en que el coeficiente de  no es igual a 1. Puedes dividir la ecuación entre a, lo que hace que se compliquen algunas de las expresiones, pero si tienes cuidado, todo resultará bien, y al final, ¡obtendrás la fórmula cuadrática!

 

 

Y ahí la tenemos, la fórmula cuadrática.

 

 

La fórmula cuadrática funcionará para cualquier ecuación cuadrática, pero sólo si la ecuación está en su forma estándar, . Para usarla, sigue los siguientes pasos:

 

·         Primero transforma la ecuación a la forma estándar

 

·         Identifica los coeficientes, a, b, y c. Ten cuidado de incluir los signos negativos si los términos bx o c están siendo restados.

 

·         Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula cuadrática

 

·         Simplifica lo más posible.

 

·         Usa el ± enfrente del radical para separar la solución en dos valores: uno en el que la raíz cuadrada se suma, y el otro donde la raíz cuadrada se resta.

 

·         Simplificar ambos valores para obtener las posibles soluciones.

 

Son bastantes pasos. Vamos a intentarlo:

 

 

 

La solución para la ecuación cuadrática nos da las coordenadas en x de las intersecciones en x, o las raíces de una ecuación cuadrática. Las raíces de la ecuación cuadrática son los valores donde la parábola cruza el eje x. Podemos comprobar esto observando la gráfica de la función  y ver que las raíces son (4, 0) y (, 0).

 

 

 

El ejemplo anterior muestra una ecuación cuadrática con dos soluciones. A continuación tenemos un ejemplo con una solución. Compara los radicales simplificados de los dos ejemplos:

 

 

 

Esta ecuación cuadrática sólo tiene una solución, por lo que la gráfica de la función  tocará el eje x una vez. Tiene una sola raíz.

 

 

 

Algo que debemos notar — la ecuación cuadrática  puede ser factorizada como . Entonces, a pesar de que la fórmula cuadrática nos dio la solución, hubiera sido más fácil factorizarla. Vale la pena revisar si la ecuación cuadrática puede ser fácilmente factorizada antes de aplicar la fórmula cuadrática.

 

 

Usar la fórmula cuadrática para resolver la ecuación .   A) x = 2 B) x =11, x = -9 C) , D) ,   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. Esta respuesta pudo haber sido resultado de una factorización incorrecta como . a = 1, b = -2, y c = -4. Entonces . La respuesta es  o .     B) Incorrecto. . Si ignoras la raíz cuadrada, esto se convierte en x = 11 o x = –9, por lo que seguramente olvidaste sacar la raíz cuadrada de 20. , entonces la respuesta correcta es  o .   C) Incorrecto. Usando la fórmula , . Si olvidas que el denominador está bajo ambos términos del numerador, podrías obtener  o . Sin embargo, la respuesta correcta es , entonces  o .   D) Correcto. Usando la fórmula , entonces o .

 

Una ecuación cuadrática puede tener dos raíces, una raíz, o ninguna raíz. En la fórmula cuadrática, la expresión bajo el símbolo radical determina cuántas soluciónes tendrá la fórmula. Esta expresión , , se llama el discriminante de la ecuación .

 

Pensemos en cómo  afectará la evaluación de , y como nos ayuda a determinar el conjunto solución.

 

·         Si , entonces el número debajo del radical será un valor positivo. Siempre podemos calcular la raíz cuadrada de un número positivo, entonces al evaluar la fórmula cuadrática resultarán dos soluciones (una sumando la raíz cuadrada positiva, y la otra restándola).

 

·         Si , entonces estaremos calculando la raíz cuadrada de 0, y el término "±" se deshace de la evaluación de la fórmula cuadrática. (Sumar cero y restar cero nos da el mismo resultado.) Esto será una solución.

 

·         Si , entonces el número debajo del radical será un valor negativo. Como no podemos calcular la raíz cuadrada de un número negativo (por lo menos no usando el sistema de números reales), no podemos seguir evaluando la fórmula. Entonces no habrá soluciones.

 

 

 

Supón que una ecuación cuadrática tiene un discriminante igual a cero. ¿Cuál de las siguientes declaraciones es siempre verdadera?   A) La ecuación tiene dos soluciones y la gráfica de la parábola abrirá hacia arriba. B) La ecuación tiene una solución y la gráfica de la parábola abrirá hacia abajo. C) La ecuación tiene una solución y no podemos decir nada sobre la dirección de la parábola. D) La ecuación no tiene solución y no podemos decir nada sobre la dirección de la parábola.   Mostrar/Ocultar la Respuesta A) Incorrecto. Un discriminante de cero significa que la ecuación tiene una solución, y no te dice nada sobre la dirección a la que la gráfica de la parábola abrirá. (Es el valor del coeficiente a el que te dice la dirección.)   B) Incorrecto. Un discriminante de cero sí nos dice que la ecuación tiene una solución, pero no provee información sobre la dirección de la parábola (necesitas el valor del coeficiente a para eso).   C) Correcto. Un discriminante de cero significa que la ecuación tiene una solución. Necesitas que el valor del coeficiente a te diga en qué dirección abre la parábola.   D) Incorrecto. Cuando el discriminante es cero, la parábola tendrá una solución. Sin embargo, estás en lo correcto con respecto a que no podemos saber nada sobre la dirección de la parábola. Necesitas conocer el valor del coeficiente a para determinar la dirección.

 

La fórmula cuadrática, , se obtiene al completar el cuadrado de la ecuación cuadrática .  La fórmula puede ser usada para encontrar la solución de una ecuación cuadrática e identificar cualquier raíz posible, o las intersecciones en x, de la función.

 

El discriminante de una fórmula cuadrática es la cantidad debajo del radical , . Determina cuántas soluciones existen para la ecuación cuadrática. Si el discriminante es positivo, hay dos raíces. Si es cero, existe una raíz. Si el discriminante es negativo, no existen raíces.