Multiplicando y Dividiendo Monomios
Objetivo de Aprendizaje
· Multiplicar y dividir monomios.
Introducción
Un monomio es una expresión que consiste de un número, una variable, o el producto de números y variables. Expresiones como 2, z, y 42p3y son monomios, mientras que aquellas con más de un término, como 2 + z, no lo son.
Cuando los monomios incluyen un número y una variable, el número es llamado coeficiente. Por ejemplo, en el monomio 8x2, 8 es el coeficiente.
Las variables en un monomio pueden tener números enteros como exponentes, pero no exponentes negativos. Así como los números pueden ser multiplicados y divididos, los monomios con variables también pueden ser multiplicados y divididos siguiendo las mismas reglas.
Empecemos por multiplicar un monomio simple. Considera un cuadrado con longitud 2x. Para encontrar el área de este cuadrado, multiplicamos la longitud por sí misma, es decir, la longitud al cuadrado.
Área del cuadrado = (2x)(2x) =
El área, 4x2, es el producto de un número (4) y una variable con un número entero como exponente (x2). En otras palabras, es también un monomio. Entonces el resultado de multiplicar dos monomios es — ¡otro monomio!
Intentemos otro problema un poco más complicado. Encontremos el área de un círculo con radio 2xy. La fórmula del área de un círculo es A = pr2, donde A= área y r = radio. Para encontrar el área de un círculo con radio 2xy, primero necesitamos elevar al cuadrado el radio, y luego multiplicarlo por p.
Ejemplo | |||||
Problema | Encontrar el área de un círculo con radio 2xy |
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| A =pr2 |
| Escribir la fórmula para el área de un círculo | ||
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| Sustituir 2xy por el radio | ||
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| Expandir 2xy y usar la Propiedad Conmutativa de la Multiplicación | ||
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| Multiplicar los coeficientes y variables | ||
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| es un número no una variable, y va incluido con el coeficiente | ||
Solución |
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Entonces el área de un círculo con radio 2xy es 4px2y2. Este es un monomio con un coeficiente .
Cuando multipliques monomios, multiplica los coeficientes, y luego multiplica las variables. Si dos variables tienen la misma base, suma los exponentes, así:
Monomios Elevados a una Potencia
Para simplificar la potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes. Por ejemplo, (23)5 = 215. Esa misma regla aplica a las variables:
Cuando hay un coeficiente, o más de una variable, elevado a la potencia de una potencia, cada variable o número es elevado a la potencia.
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar (x3y5)2 | ||
| (x3)2(y5)2 |
| Elevar al cuadrado cada variable dentro del paréntesis |
| x6y10
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| Multiplicar los exponentes para simplificar |
Solución | x6y10 |
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Ejemplo | |||
Problema | Simplificar |
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| Elevar al cuadrado cada variable o coeficiente dentro del paréntesis |
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| Elevar al cuadrado el coeficiente y multiplicar los exponentes para simplificar |
Solución |
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Para simplificar el producto de dos monomios, asegúrate que cada variable aparece sólo una vez, las fracciones se escriben en los términos más bajos, los coeficientes han sido multiplicados, y no hay potencias de potencias. Abajo hay un ejemplo para ilustrar estos pasos:
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar |
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| Eleva cada parte del primer monomio a la potencia de 3 |
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| Simplificar las potencias |
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| Multiplicar los coeficientes y las variables de los dos monomios |
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| Reescribir la fracción con los términos más bajos
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Solución |
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Multiplica los monomios y expresa la respuesta en términos simples.
A)
B)
C)
D)
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Dividiendo Monomios
Cuando dividas monomios, divide los coeficientes y luego divide las variables con la misma base restando sus exponentes. Considera este ejemplo:
Ejemplo | |||
Problema | Un rectángulo tiene un área de 8x2 y un largo de 4x. Encontrar el ancho del rectángulo. |
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| Reescribir la fórmula del área de un rectángulo para resolver el ancho |
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| Sustituir los valores conocidos |
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| Dividir los coeficientes, y restar los exponentes de las variables |
Solución | ancho = |
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No fue tan difícil. Intentemos otro:
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar |
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| Separar el monomio en factores numéricos y variables |
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| Dividir los números, y restar los exponentes de las variables semejantes |
Solución |
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Sumario
Multiplicar y dividir monomios se hace siguiendo las reglas de los exponentes. Para multiplicar monomios, multiplica los coeficientes y luego suma los exponentes de las bases similares. Para elevar un monomio a una potencia, cuando hay un coeficiente o más de una variable elevado a la potencia de una potencia, cada variable o número es elevado a la potencia multiplicando el exponente de la base por el exponente de la potencia a la que se está elevando. Para dividir monomios, divide los coeficientes y resta los exponentes de las bases similares.