Exponentes Fraccionarios
Objetivo de Aprendizaje
· Simplificar expresiones algebraicas con exponentes fraccionarios.
Introducción
Las raíces cuadradas a menudo se escriben usando un signo de radical:. Pero hay otra forma de representar el cálculo de una raíz. Podemos usar exponentes fraccionarios en lugar de un radical.
¿No te puedes imaginar cómo elevar un número a una potencia fraccionaria? Puede que sea difícil acostumbrarse, pero los exponentes fraccionarios pueden incluso ayudar a simplificar algunos problemas. Veamos cómo funcionan estos exponentes fraccionarios que llamamos radiales racionales.
Los radicales y los exponentes son operaciones inversas. Por lo que puede sorprenderte un poco saber que un radial puede ser expresado como un número exponencial. La tabla de abajo muestra algunos ejemplos de raíces cuadradas comunes escritas como radicales, exponentes fraccionarios y enteros. Nota que el denominador de un exponente fraccionario es el número 2.
Radical | Exponente | Entero |
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| 4 |
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| 5 |
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| 10 |
Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, el cubo de un número es el número elevado a la tercera potencia. Nota que en estos ejemplos, el denominador del exponente fraccionario es el número 3.
Radical | Exponente | Entero |
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| 2 |
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| 5 |
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| 9 |
Estos ejemplos nos ayudan a modelar una relación entre los radicales y los exponentes fraccionarios: a saber, que la enésima raíz de un número puede escribirse ya sea como o.
Radical | Exponente |
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… | … |
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"La raíz quinta del número 243" puede escribirse como:
A)
B)
C)
D)
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Más Allá de Fracciones Unitarias
Todos los numeradores de los exponentes fraccionarios en los ejemplos que hemos visto eran 1. Podemos usar otro tipo de exponentes además de fracciones unitarias, como se muestra abajo. ¿Notas algún patrón emergente en la tabla?
Radical | Exponente |
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… | … |
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Para escribir un radical como un exponente fraccionario, la potencia a la cual elevamos la base se convierte en el numerador y la raíz se convierte en el denominador.
Escribiendo Exponentes Fraccionarios
Cualquier radical en la forma pude escribirse como un exponente fraccionario en la forma.
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Esto también tiene sentido para nuestros exponentes con fracciones unitarias puede escribirse como , ya que cualquier número sigue siendo el mismo si lo elevamos a la primera potencia. Ahora sabemos de dónde viene el numerador de 1 en la forma equivalente de .
Trabajando con Exponentes Fraccionarios
Los exponentes fraccionarios no son usados a menudo, además de las fórmulas avanzadas en los altos niveles de las matemáticas y la ciencia. Pero ocasionalmente son útiles para simplificar expresiones algebraicas.
Exploremos algunas expresiones radicales para ver cómo. Aquí tenemos una expresión radicar que necesita ser simplificada, .
Un método para simplificar esta expresión es factorizar y sacar grupos de a3, como se muestra:
También podemos simplificar la expresión si pensamos en el radical como un exponente fraccionario, y usamos el principio de que cualquier radical en la forma puede escribirse como un exponente fraccionario en la forma :
Nota que los exponentes fraccionarios están sometidos a las mismas reglas que los exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.
Ambos métodos de simplificación nos dan el mismo resultado, a2. Dependiendo del contexto del problema, podría ser más fácil usar un método u el otro, por ahora, notemos que fuimos capaces de simplificar esta expresión más rápido usando exponentes fraccionarios que usando el método de "sacar".
Intentemos una expresión más complicada, . ¡Caray! Esta expresión tiene dos variables, una fracción, y un radical. Es un poco intimidante. La tomaremos paso a paso para ver si el usar exponentes fraccionarios nos puede ayudar a simplificarla.
Empezaremos por simplificar el denominador porque es en donde se localiza el radical.
Ejemplo | |||
Problema | Simplificar |
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| Separar los términos del denominador | |
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| Calcular la raíz de 8, que es 2 | |
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| Reescribir el radical como un exponente | |
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| Reescribir la fracción como una serie de factores con el fin de cancelar términos (ve el siguiente paso) | |
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| Simplificar la constante y términos c | |
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| Usar la regla de los exponentes negativos, n-x=, para reescribir como | |
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| Combinar los términos b al sumar los exponentes | |
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| Regresar el exponente a su forma radical. Por convención, una expresión no se considera simplificada si tiene un exponente fraccionario o un radical en el denominador | |
Solución |
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Bueno, eso tomó un rato, pero lo logramos. Aplicamos lo que sabemos sobre exponentes fraccionarios, exponentes negativos y las reglas de los exponentes para simplificar la expresión.
Simplificar
A)
B)
C)
D)
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Sumario
Un radical puede ser expresado como un valor con un exponente fraccionario siguiendo la convención =. Reescribir radiales como exponentes fraccionarios puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabajes con exponentes fraccionarios, recuerda que están sujetos a todas las reglas de los otros exponentes que aparecen en expresiones algebraicas.