Resolviendo Ecuaciones Radicales

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Resolver ecuaciones algebraicas con términos radicales.

 

Introducción

 

Cuando una expresión radical aparece en una ecuación, la llamamos ecuación radical. Resolver ecuaciones radicales requiere la aplicación de las reglas de los exponentes y algunos principios algebraicos básicos. En algunos casos, se debe tener cuidado con errores causados por elevar cantidades desconocidas a una potencia par.

 

Elevando al Cuadrado Ambos Lados

 

Una estrategia básica para resolver ecuaciones radicales es despejar primero el término radical, y luego usar la operación inversa (elevar el término radical a una potencia) para sacar la variable. Este es el mismo tipo de estrategia que usamos para resolver otras ecuaciones no radicales: manipulamos la expresión para despejar la variable que queremos conocer, y luego resolvemos la ecuación resultante.

 

Empecemos con una ecuación radical que podamos resolver en pocos pasos: .

 

Ejemplo

Problema

 

 

 

 

Sumar 3 a ambos lados para despejar el término variable

 

 

Combinar términos semejantes

 

Elevar al cuadrado ambos lados para eliminar el radical

Solución

x = 64

 

Simplificar

 

 

Para comprobar nuestra solución, podemos sustituir x por 64 en la ecuación original. ¿Obtenemos ? Sí — la raíz cuadrada de 64 es 8, y 8 3 = 5.

 

Nota cómo en este problema combinamos términos comunes y luego elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación. Este es un método estándar para remover el radical de la ecuación. Es importante despejar un radical a un lado de la ecuación y simplificar lo más posible antes de elevar a una potencia. Entre más términos haya antes de elevar, más términos adicionales serán generados, y se puede volver complicado.

 

Otra advertencia: Ten cuidado de no elevar a una potencia únicamente los términos en la ecuación. Este método sólo funciona si elevamos ambos lados de la ecuación.

 

Aún cuando seguimos las reglas, no siempre es pan comido. Intentemos otro problema para demostrar los peligros de elevar al cuadrado ambos lados del radical:

 

Ejemplo

Problema

 

 

 

Elevar al cuadrado ambos lados para sacar el término a – 5 del radical

 

a 5 = 4

Simplificar la ecuación

 

a 5 + 5 = 4 + 5

Sumar 5 a ambos lados para aislar la variable

Solución

a = 9

Combinar términos semejantes

 

Obtenemos un valor de 9 para a. Pero observa qué pasa si sustituimos a por 9 en la ecuación original:

 

 

 

 

Esto no es correcto — la raíz cuadrada de 4 es 2, no -2. Nuestra respuesta de a = 9 no funciona. ¿Qué pasó?

 

Veamos de nuevo el problema original: . Nota que el radical es igual a -2, y recuerda que la raíz cuadrada de un número sólo puede ser positiva. ¡Esto significa que ningún valor de a resultará en una expresión radical cuya raíz cuadrada es -2! Pudimos haber notado esto desde el principio y concluido que no existen soluciones para a. Pero, ¿por qué el método de elevar al cuadrado funcionó en el primer ejemplo y no en el segundo?

 

La respuesta se encuentra en el proceso mismo de elevar al cuadrado. Cuando elevamos un número a una potencia par — ya sea cuadrada, cuarta, o 50va — podemos introducir la solución falsa porque el resultado de una potencia par es siempre un número positivo. Piénsalo: 32 y (-3)2 ambos son 9, y 24 y (-2)4 ambos son 16. Entonces cuando elevamos al cuadrado -2 y obtuvimos 4 en este problema, convertimos la cantidad a positivo artificialmente. Es por eso que fuimos capaces de encontrar el valor de a — ¡resolvimos el problema como si nos hubieran dado a resolver ! Huy.

 

Maritza está resolviendo la siguiente ecuación radical: .

 

¿Cuál de los siguientes pasos debería Maritza hacer primero?

 

A) Multiplicar ambos lados por h.

 

B) Elevar al cuadrado ambos lados.

 

C) Dividir ambos lados entre

 

D) Restar  de ambos lados

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Multiplicar ambos lados por h cambiará la ecuación a . Eso no nos ayudará a resolver el problema. Ella debería restar  de ambos lados, para despejar el término variable.

 

B) Incorrecto. En esta etapa, elevar al cuadrado ambos lados de la ecuación resultaría en términos extra, y volvería la ecuación más difícil de resolver. Ella debería restar  de ambos lados, para despejar el término variable

 

C) Incorrecto. Dividir entre  pasaría a todos los términos variables a un lado de la ecuación, pero también introduciría fracciónes. Esto complicaría la solución del problema. Ella debería restar  de ambos lados, para despejar el término variable.

 

D) Correcto. Después de que Maritza resta  de ambos lados de la ecuación .  Su siguiente paso podría ser sumar 7 a ambos lados. Después de esto, tendría la ecuación ; ella podría entonces elevar al cuadrado ambos lados para encontrar el valor de h.

 

 

Raíces Además de las Cuadradas

 

La técnica de eliminar un radicar elevando a una potencia ambos lados de la ecuación también puede ser usada con otras raíces además de las cuadradas. Considera la ecuación .

 

A primera vista, esta ecuación podría parecer imposible de resolver ya que el radical está igualado a -3. ¡No queremos cometer el mismo error de nuevo! Pero espera — esta vez el radical no es una raíz par — es una raíz impar, 3. Esto significa que la expresión radical puede ser igual a un número negativo ya que los radicales con raíces impares pueden tener valores negativos como raíces.

 

Ejemplo

Problema

 

 

 

Elevar al cubo ambos lados para eliminar el radical

 

-27 = b - 2

Simplificar la ecuación. Nota que elevar al cuadrado preserva el signo negativo de 27

 

-27 + 2 = b – 2 + 2

Sumar 2 a ambos lados para despejar la variable

 

Solución

-25 = b

 

Combinar términos semejantes

 

 

Al igual que todas las soluciones que obtenemos cuando resolvemos ecuaciones radicales, debemos sustituir b por -25 en nuestra ecuación original para asegurarnos de que la solución es correcta.

 

 

 

 

-3 = -3

 

La sustitución resulta en una declaración verdadera, por lo que la respuesta es correcta.

 

Sumario

 

Un método común para resolver ecuaciones radicales es elevar ambos lados de una ecuación a una potencia que eliminará el signo radical de la ecuación. Pero ten cuidado — cuando ambos lados de la ecuación son elevados a una potencia par, existe la posibilidad de que términos negativos sean cambiados artificialmente a términos positivos. Cuando resolvemos estos problemas, es importante revisar la respuesta sustituyendo el valor en la ecuación original.