Graficando Sistemas de Desigualdades

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Representar sistemas de desigualdades lineales como regiones en el eje de coordenadas.

·         Identificar la región limitada de un sistema de desigualdades.

·         Determinar si un punto dado es solución de un sistema de desigualdades.

 

Introducción

 

En un sistema de ecuaciones, las posibles soluciones deben ser válidas para todas las ecuaciones. Los valores que son verdaderos para una ecuación pero no para todas no resuelven el sistema. El mismo principio aplica a los sistemas de desigualdades, los cuales son un conjunto de dos o más desigualdades relacionadas. Todas las posibles soluciones deben ser válidas para todas las desigualdades.

 

Ya que cada desigualdad individual define todo un rango de valores, encontrar todas las soluciones que satisfacen varias desigualdades puede parecer una tarea difícil. Por suerte, las gráficas nos muestran un atajo.

 

Graficando un Sistema de Dos Desigualdades

 

La gráfica de una sola desigualdad lineal divide el eje de coordenadas en dos regiones, A un lado están todas las soluciones posibles de la desigualdad. Al otro lado, no hay soluciones. Considera la gráfica de la desigualdad y < 2x + 5.

 

 

 

La línea punteada es y = 2x + 5. Cada par ordenado en el área sombreada a la derecha de la línea es una solución de y < 2x + 5. ¿Escéptico? Intenta sustituyendo las coordenadas x y y de los Puntos A y B en la desigualdad — verás que funcionan.

 

La región sombreada, el área del plano que contiene todas las soluciones posibles a la desigualdad, se llama región limitada. La línea que marca el límite de la región se llama lógicamente línea límite. En este caso, está punteada porque los puntos sobre la recta no satisfacen la desigualdad. Si lo hicieran, como lo sería con la desigualdad y ≤ 2x + 5, entonces la línea límite sería sólida.

 

Grafiquemos otra desigualdad: y > -x. Esta desigualdad también define un medio plano. Los puntos M y N están graficados dentro de la región limitada. Esto significa que ambos puntos producen declaraciones válidas cuando sus coordenadas x y y son sustituidas en la desigualdad y > -x.

 

 

 

Para crear un sistema de desigualdades, necesitamos graficar dos o más desigualdades juntas. Usemos y < 2x + 5 y y > -x ya que conocemos sus gráficas independientes.

 

 

 

¿Observas el área púrpura, donde las regiones límite de las dos desigualdades se sobreponen? Esta es la solución del sistema de desigualdades. Cualquier punto dentro de esta región púrpura será válido para y > ‑x y para y < 2x + 5. Ambas desigualdades definen regiones límite más grandes, pero el rango posible de soluciones para el sistema consistirá en una región limitada más pequeña que es la que tienen en común.

 

En la gráfica, puedes ver que los puntos B y N son soluciones posibles para el sistema porque sus coordenadas volverán a ambas desigualdades declaraciones verdaderas.

 

En contraste, los puntos M y A están fuera de la región limitada compartida, Mientras que M es todavía una posible solución de la desigualdad y > -x y el punto A es todavía una posible solución de la desigualdad y < 2x + 5, ningún punto es una solución válida para el sistema.

 

Identificando Soluciones

 

Para averiguar si un punto dado es una solución de un sistema de desigualdades, podemos ver si se encuentra dentro de la región común del sistema, Veamos algunos ejemplos

 

Determinar si (3, -2) es una solución posible del sistema:

 

y > 0.5x 2

x + y ≤ 5

 

Antes de siquiera graficar el sistema podemos sustituir los valores x = 3 y y = -2 en cada desigualdad y ver si obtenemos declaraciones válidas. Esta es una manera rápida de determinar si un punto dado es solución del sistema (aunque también haremos la gráfica del sistema).

 

y > 0.5x − 2

-2 > 0.5(3) − 2

-2 > 1.5 − 2

-2 > -0.5

declaración inválida

x + y ≤ 5

3 + (-2) ≤ 5

3 − 2 ≤ 2

1 ≤ 2

declaración válida

 

Obtuvimos una declaración válida y una declaración inválida, lo que significa que este punto no será una solución del sistema, aunque funcione para una de las desigualdades.

 

Ahora dibujemos la gráfica del sistema para ver en dónde se encuentra el punto, y dónde está la región limitada. Para crear la gráfica del sistema, trazaremos cada desigualdad, Primero graficamos la línea límite de y > 0.5x − 2 y sombreamos la región por encima de la línea (mostrada en rosa en la imagen de abajo) ya que los puntos en esa región vuelven verdadera la desigualdad.

 

Luego graficamos la línea límite de x + y ≤ 5, asegurándonos de trazar una línea sólida porque la desigualdad es ≤, y sombreamos la región debajo de la línea (mostrada en azul) ya que esos puntos son soluciones de la desigualdad. La región en la parte superior izquierda de la gráfica se vuelve púrpura, porque es donde coinciden ambas soluciones para cada desigualdad. Este es el conjunto solución del sistema.

 

 

El punto en cuestión, (3, -2), se encuentra dentro de la región limitada de x + y ≤ 5 pero fuera de la región limitada de y > 0.5x − 2. Por lo que no es una solución de todo el sistema.

 

 

¿Cuáles de los puntos listados a continuación son soluciones del sistema?

 

y > x

x − 2 < 0

 

I. (1, 1)

II. (-5, 9)

III. (0, 7)

 

A) I y II

B) II y III

C) I y III

D) Sólo II

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. (-5, 9) es una solución posible del sistema, pero (1, 1) no lo es. La respuesta correcta es B.

 

B) Correcto. Los puntos (-5, 9) y (0, 7) son posibles soluciones para ambas desigualdades del sistema.

 

C) Incorrecto. (1, 1) es una solución válida para la desigualdad x − 2 < 0, pero no lo es para y > x; entonces no es una solución del sistema. La respuesta correcta es B.

 

D. Incorrecto. (-5, 9) es una solución válida para el sistema, pero también lo es (0, 7). La respuesta correcta es B..

 

 

Sistemas Sin Solución

 

Algunas veces un sistema de desigualdades no tiene soluciones. Esto puede pasar cuando las líneas límite son paralelas.

 

Considera el siguiente sistema:

 

y ≥ 2.5x + 4

y < 2.5x

 

La gráfica de este sistema se muestra abajo.

 

 

 

Las regiones límite de las dos desigualdades no se sobreponen, por lo que no hay un conjunto solución.

 

Sin embargo, la existencia de líneas paralelas no necesariamente significa que no hay solución, sólo significa que existe la posibilidad de que no haya soluciones. Usando la misma gráfica, piensa sobre la representación del sistema y > 2.5x y y ≤ 2.5x + 4. Una banda delgada de posibles soluciones existe entre las dos líneas paralelas.

 

Sumario

 

Los sistemas de desigualdades pueden ser graficados en el eje de coordenadas. El conjunto solución de un sistema de desigualdades no es un solo punto, sino toda una región definida por las áreas que se sobreponen de cada desigualdad individual del sistema. Cada punto dentro de esta región será una posible solución de ambas desigualdades y por lo tanto de todo el sistema. Cuando dos desigualdades en un sistema no comparten una región común, el sistema no tiene solución, y ningún punto será una solución para ambas desigualdades.