Resolviendo Sistemas de Ecuaciones Lineales por Eliminación

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Definir el método de eliminación para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

·         Combinar las ecuaciones de un sistema lineal para eliminar variables.

 

 

La equivalencia es una fuerza poderosa en el álgebra. Por ejemplo, el método de sustitución de reemplazar una cantidad con una expresión equivalente nos puede ayudar a resolver sistemas de ecuaciones. El método de eliminación provee otra forma de aplicar el concepto de equivalencia para resolver sistemas de ecuaciones. En este método, una variable es eliminada combinando las ecuaciones individuales de un sistema.

 

¿Confundido? Muy bien — empecemos.

 

 

Un viaje imaginario a la pizzería local nos puede ayudar a sentar las bases para entender el método de eliminación. Imagina que es hora de comer, y que entramos a un restaurante que tiene los especiales siguientes:

 

Especial 1: 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50

Especial 2: 5 rebanadas y 2 bebidas por $8.25

 

Estamos hambrientos, pero también queremos saber cuánto cuesta cada rebanada de pizza y cuánto cuesta cada bebida. Pero, ¿cómo? Bueno, ambos especiales combinan los mismos elementos — bebidas y rebanadas — en cantidades diferentes. Podemos restar el especial pequeño del grande hasta que nos deshagamos de uno de los elementos. Entonces conoceremos el costo del otro.

 

Si empezamos por el Especial 1, 5 rebanadas y 2 bebidas por $8.25, y le restamos el Especial 2, 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50, obtenemos 3 rebanadas y una bebida por $4.75.

 

Esta nueva combinación sigue teniendo dos elementos, por lo que restamos una vez más: 3 rebanadas y 1 bebida son $4.75, menos 2 rebanadas y 1 bebida por $3.50. Eso nos deja sólo 1 rebanada por $1.25.

 

Ahora sabemos que una rebanada de pizza cuesta $1.25, entonces podemos sustituir ese valor en cualquiera de los dos especiales para encontrar el precio de una bebida. Sustituyendo en el Especial 1, encontramos que dos rebanadas cuestan $2.50, por lo que una bebida debe costar $1.

 

¿Qué te pareció? Hemos aplicado el razonamiento usado por el método de eliminación. Hemos eliminado una cantidad (en este caso, el costo de las bebidas) de una ecuación para dejar sólo una de las variables (el costo de las rebanadas) en el problema. Revisemos lo que acabamos de hacer, pero esta vez algebraicamente:

 

 

Eliminemos el Especial 1 del Especial 2 (nota cómo hemos volteado el orden de los especiales para que el Especial 2 esté arriba del Especial 1):

 

 

Restando, somos capaces de encontrar nuestro nuevo total: 3s + d = $4.75. Nota que estamos restando los términos semejantes uno del otro, y que estamos restando todos los términos del Especial 1 de los del Especial 2. Ahora repetimos el proceso de eliminación, quitándole otro Especial 1 a nuestro nuevo total:

 

 

Una vez más, hemos restado términos semejantes uno del otro, resultando en un valor para la variable s: $1.25. Lo hicimos de nuevo — hemos usado el método de eliminación para encontrar el precio de una rebanada.

 

El método de eliminación es una forma útil de usar ecuaciones completas para eliminar una variable de un sistema para encontrar el valor de otra variable en el mismo sistema. Una vez que conoces el valor de una variable, puedes sustituirla en el sistema para encontrar el valor de otra variable.

 

Algunas veces tiene sentido sumar una ecuación con otra, otras veces tendrá sentido restar las ecuaciones una de la otra. Tu decisión sobre sumar o restar dependerá de la variable que quieres eliminar, así como de los números en la ecuación.

 

 

Este sistema nos muestra un buen ejemplo de cuándo usar el método de eliminación. En las dos ecuaciones puedes ver que el término 3h aparece en una, y el término -3h aparece en la otra. Si sumamos estas dos ecuaciones podremos eliminar el término h, permitiéndonos resolver g fácilmente.

 

 

 

Ahora que conocemos g = 1.5, podemos sustituir ese valor en una de las ecuaciones para encontrar el valor de h.

 

 

Una vez resuelto el sistema, es buena idea sustituir ambos valores en el sistema original para asegurarnos que son correctos. Si ambas ecuaciones resultan en declaraciones válidas, entonces puedes estar seguro de haber identificado la solución correcta. Por otro lado, si las declaraciones resultantes son inválidas, entonces sabemos que hubo errores en los cálculos que hemos hecho.

 

 

Sumar y restar ecuaciones es a menudo una forma efectiva de eliminar una variable de un sistema. Hay sin embargo otras ocasiones donde sumar o restar no nos lleva a un resultado útil.

 

 

Las ecuaciones en este sistema no tienen términos que se puedan eliminar fácilmente cuando las ecuaciones son sumadas o restadas. Si sumamos ambas ecuaciones, nos resultará una tercera ecuación donde todavía quedan dos variables.

 

Es aquí donde la multiplicación nos puede ayudar. Nota que la primera ecuación contiene el término 4y, y la segunda ecuación contiene el término -2y. Si duplicamos -2y, cuando sumemos ambas ecuaciones los términos y se cancelarán.

 

 

Al multiplicar la ecuación por dos, tenemos ahora el término -4y. Multiplicar (o dividir) toda la ecuación por el mismo número mantiene la ecuación y la relación entre las variables. Sólo tenemos que tener cuidado de multiplicar ambos lados de la ecuación cuando usemos este método.

 

Como la Ecuación B y la Nueva Ecuación B tienen las mismas variables en la misma relación, ambas son equivalentes. Podemos sustituir la Nueva Ecuación B en el sistema reemplazando la Ecuación B. Entonces podemos sumarla a la Ecuación A.

 

 

Sabemos que x = -7, sólo tenemos que usar -7 en lugar de x en cualquiera de las ecuaciones A o B para encontrar el valor correspondiente de y.

 

Existen otras formas de resolver el sistema. En lugar de multiplicar una ecuación para eliminar una variable cuando las ecuaciones se sumen, pudimos haber multiplicado ambas ecuaciones por números distintos. Así.

 

Ahora deshagámonos de la variable x. Multiplicamos la Ecuación A por 5 y la Ecuación B por 3:

 

 

Escogimos multiplicar estas ecuaciones por 5 y por 3 respectivamente, porque nos resultan números que se cancelarán, -15x y 15x. Multiplicar ambas ecuaciones es una buena estrategia a seguir, pero una vez más, debemos ser diligentes y multiplicar todos los términos de la ecuación.

 

También pudimos haber dejado en paz la primera ecuación, y multiplicado la segunda ecuación por  para obtener 3x.

 

A estas alturas seguramente ya te diste cuenta que el método de eliminación es muy flexible. Podemos multiplicar o dividir ecuaciones en un sistema por cualquier número que sea conveniente (excepto el 0). El objetivo de usar esta estrategia es manipular las ecuaciones de tal forma que eliminemos variables al sumarlas o restarlas.

 

 

 

 

La combinación de ecuaciones es una herramienta poderosa para resolver sistemas de ecuaciones. Al sumar y restar dos ecuaciones para eliminar una variable común se le conoce como método de eliminación. Una vez que una variable ha sido eliminada, se vuelve más fácil resolver la otra variable. La multiplicación y la división pueden ser usadas para igualar términos en las ecuaciones antes de ser combinadas. Cuando se usan la multiplicación o la división, es importante multiplicar o dividir todos los términos a ambos lados de la ecuación — no sólo el que estás tratando de eliminar.