Escribiendo y Usando Desigualdades

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Desarrollar desigualdades para representar situaciones cotidianas y usarlas para resolver problemas.

 

Introducción

 

Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea — sólo debemos saber dónde buscar. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.

 

Escuchando el Lenguaje

 

Te encuentras con desigualdades matemáticas casi todos los días, pero tal vez no las notas porque te son familiares. Piensa en las siguientes situaciones: Límites de velocidad en la autopista, pagos mínimos en las tarjetas de crédito, el número de mensajes de texto que puedes enviar desde tu celular cada mes, el tiempo que te toma llegar a la escuela. Todas estas pueden ser representadas como desigualdades matemáticas. Y, de hecho, usas pensamiento matemático cuando consideras éstas situaciones cada día.

 

Situación

Desigualdad Matemática

Límite de velocidad

Velocidad legal en la autopista ≤ 65 millas por hora

Tarjeta de crédito

Pago mensual≥ 10% de tu balance en el ciclo de tu factura

Mensajes de texto

Número de mensajes permitido al mes ≤ 250

Tiempo de viaje

Tiempo necesario para caminar hasta la escuela l ≥ 18 minutos

 

Cuando hablamos de estas situaciones, normalmente nos referimos a límites, como "la velocidad límite es de 65 millas por hora" o "Tengo un límite de 250 mensajes de texto al mes". Sin embargo, no tenemos que viajar exactamente a 65 millas por hora en la autopista, ni mandar y recibir precisamente 250 mensajes de texto al mes — el límite sólo establece una frontera para lo que es permitido. Pensar en estas situaciones como desigualdades proporciona una visión más amplia de lo que es posible.

 

Considera el siguiente problema:

 

Un camión de 18 ruedas se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite del puente es de 65,000 libras. La cabina del camión pesa 20,000 libras, y la caja del camión pesa 12,000 libras cuando está vacía. En libras, ¿cuál es la carga que puede llevar el camión para que se le permita pasar el puente?

 

Este problema ofrece un límite superior — 65,000 libras — pero nos interesa encontrar todo el rango de posibilidades para el peso de la carga. Podemos representar la situación usando la siguiente desigualdad, donde c es el peso (en libras) de la carga del camión:

 

peso de la cabina

+

peso de la caja

+

peso de la carga

peso permitido

20,000

+

12,000

+

c

65,000

 

Resolviendo c en la igualdad, encontramos que c ≤ 33,000. Esto significa que el peso de la carga en el camión puede variar entre 0 y 33,000 libras y se le permitirá al camión cruzar el puente.

 

20,000 + 12,000 + c

65,000

20,000 + 12,000 + c – 32,000

65,000 – 32,000

c

33,000

 

 

Entendiendo el Contexto

 

Cuando estás resolviendo o construyendo estas desigualdades, es importante saber qué símbolo de desigualdad vas a usar. Mira las siguientes frases que te darán una pista:

 

Frase

Desigualdad

a es más que b

a > b

a es por lo menos b

ab

a es menos que b

a < b

a es por lo menos b;” o
a no es más que b

ab

 

Sin embargo, muchos problemas no usan precisamente las palabras "por lo menos" o "es menos que". Entonces, ¿cómo saber qué símbolo usar en cierta situación?

 

La clave consiste en pensar en el contexto del problema, y relacionar el contexto a una de las situaciones enlistadas en la tabla. El contexto se refiere a la situación cotidiana en la cual se desenvuelve el problema.

 

Por ejemplo, piensa de nuevo en el problema del camión que ya resolvimos. El peso máximo permitido en el puente era de 65,000 libras. Podemos también pensar en esta relación usando el lenguaje de las desigualdades en la tabla: el peso total de la cabina, la caja y la carga no debe ser más que 65,000. Una vez que hemos identificado la relación entre las dos cantidades podemos determinar cuál es el símbolo apropiado.

 

Considera otro problema que requiere que pongamos atención al contexto:

 

Erykah ha encontrado tres pares de tenis para correr que le gustan, cuestan $150, $159, y $179. Ella ya tiene ahorrados $31, y tiene un empleo donde gana $8.50 la hora. ¿Cuántas horas debe trabajar para poder pagar cualquiera de los pares de tenis?

 

Nota que éste problema no nos está pidiendo encontrar el número de horas que Erykah debe trabajar para comprar cierto par de tenis — nos está preguntando por cualquiera de los pares de tenis. Ya que el par menos caro cuesta $150, necesitamos crear una desigualdad que muestre cuánto debe ella trabajar para poder reunir "por lo menos $150" — o, en símbolos matemáticos, "≥ $150". Usaremos la variable h para representar el número de horas que ella trabaja.

 

Salario por hora

Número de horas trabajadas

+

Dinero ahorrado

Precio de los tenis más baratos

($8.50

h)

+

$31

$150.00

 

Podemos resolver ésta desigualdad así:

 

Ejemplo

Problema

8.5h + 31

150

 

8.5h + 31- 31

150 – 31

 

8.5h

119

 

 

 

Solución

h

14

 

 

Erykah necesita trabajar por lo menos 14 horas para poder pagar alguno de los pares de tenis. Si ella trabaja más horas, podrá permitirse los modelos más caros.

 

Si s representa el número de libros que tiene Sam, y g representa el número de libros que tiene Gerard, ¿qué desigualdad modela la situación "Sam tiene más del doble de libros que Gerard"?

 

A) s > 2g

B) s < 2g

C) g < 2s

D) g > 2s

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) s > 2g

Correcto. El doble de los libros de Gerard es 2g, y s es mayor que ese número.

 

B) s < 2g

Incorrecto. s < 2g significa "Sam tiene menos de la mitad de libros que Gerard." Para escribir "Sam tiene más del doble de libros que Gerard," debes escribir s > 2g.

 

C) g < 2s

Incorrecto. g < 2s dice "Gerard tiene menos de la mitad de libros que Sam." Para escribir "Sam tiene más del doble de libros que Gerard," debes escribir s > 2g.

 

D) g > 2s

Incorrecto. g > 2s significa "Gerard tiene más de la mitad de libros que Sam." Para escribir "Sam tiene más del doble de libros que Gerard," debes escribir s > 2g.

 

 

 

Desigualdades de Valor Absoluto

 

Algunas desigualdades del mundo real requieren que usemos el valor absoluto. Una vez más, hay ciertas frases que buscar en la descripción de éste tipo de situaciones:

 

Frase

margen de error

más o menos

más menos

aproximadamente

 

Igual que antes, de todos modos debes considerar el contexto del problema para asegurarte de que el valor absoluto es apropiado. Aquí hay un ejemplo:

 

En una curtiduría, un trabajador usa la máquina para cortar tiras de cuero para obtener un tamaño consistente para hacer cinturones. Los cinturones deben medir 35 pulgadas de largo, pero el trabajador tiene permitido un margen de error de hasta  de pulgada para que el cinturón tenga una longitud aceptable. Escribe una desigualdad que represente el rango aceptable de longitudes de cinturón.

 

Sabemos que los cinturones deben medir 35 pulgadas de largo, más menos  de pulgada. ¿Cómo tomamos en cuenta éste margen de error? Usamos una desigualdad de valor absoluto, así:

 

Longitud esperada

-

Longitud real

Margen de error aceptable

|35

-

b|

 

En ésta desigualdad, el término |35 – b| representa el valor absoluto de la diferencia entre la longitud esperada del cinturón y la longitud real. No importa si el cinturón es un poco más largo o un poco más corto — cualquiera es aceptable. Nota que el orden de éstos términos pudo ser al revés, y pudimos haber escrito |b – 35|. Nos importa sólo la distancia, no la dirección. Usamos el símbolo de desigualdad <, porque la diferencia debe ser menos que el margen de error.

 

Resolvamos la desigualdad:

 

Ejemplo

 

Problema |35 – b| <

 

 

35 – b

<

 

-(35 – b)

<

35 – b – 35

<

 - 35

 

-35 + b

<

-b

< 

-

 

-35 + b + 35

<

 + 35

-1 -b

>

-1 -

 

Solución:

b

< 

Solución:

b

> 

 

 

 

 

Cualquier valor entre (pero sin incluir)  y  satisface la desigualdad — esto representa el rango aceptable de valores de longitudes.

 

Sumario

 

Las desigualdades pueden ser usadas para modelar situaciones cotidianas. Cuando interpretes ese tipo de problemas, empieza por identificar cómo las cantidades se relacionan una con la otra, y luego elige el símbolo de desigualdad que sea apropiado a la situación. Cuando resuelvas estos problemas, recuerda que la solución será un rango de posibilidades — las desigualdades no nos dan sólo una respuesta, como lo hacen las ecuaciones. Valores absolutos en las desigualdades pueden ser usados para modelar situaciones donde interviene un margen de error.