Intersecciones de Ecuaciones Lineales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Calcular la intersección de una recta.

·         Utilizar la intersección para graficar una recta.

 

 

La intersección de una recta son los puntos donde la recta intersecta, o cruza, los ejes horizontal y vertical.

 

La recta mostrada en la gráfica intersecta a los dos ejes de coordenadas. El punto donde la recta cruza el eje x se llama [intersección en x]. El punto [intersección en y] es donde la recta cruza el eje y.

 

 

 

Observa que la intersección en y ocurre cuando x = 0, y la intersección en x ocurre cuando y = 0.

 

 

Podemos usar las características de las intersecciones para calcularlas rápidamente a partir de la ecuación de una recta. Puedes notar que es fácil, cuando encontramos las x- y y-intersecciones para la recta  .

 

Para encontrar la intersección en y, sustituimos 0 por x en la ecuación, porque sabemos que cada punto en el eje y tiene un valor de 0 en la coordenada x. Una vez hecha la sustitución, podemos resolver la ecuación para encontrar el valor de y. Cuando hacemos x = 0, la ecuación se convierte en , de donde se obtiene y = 2.  Por lo que, cuando x = 0, y = 2. Las coordenadas de la intersección en y son (0, 2).

 

 

Seguiremos ahora los mismos pasos para encontrar la intersección en x. Sea y = 0 en la ecuación, y resolvamos para x. Cuando y = 0, la ecuación se convierte en , de donde se obtiene x = 3. Cuando y = 0, x = 3. Las coordenadas de la intersección en x son (3, 0).

 

 

¿Ves? Te dije que era fácil.

 

 

 

Sabemos que las intersecciones de una recta son útiles. Por ejemplo, nos permiten dibujar fácilmente la gráfica de una recta—sólo tenemos que encontrar las intersecciones en los ejes y trazar una recta que las cruce. Hagámoslo con la ecuación . Encontramos que las intersecciones de la recta de ésta ecuación son (0, 2) y (3, 0). Es todo lo que necesitamos saber:

 

 

 

Y así obtenemos la recta. 

 

 

Las intersecciones son una herramienta valiosa para seguir o predecir un proceso. En cada intersección, una de las dos cantidades siendo graficadas alcanza el valor de 0. Esto significa que la intersección de una recta puede ser utilizada para marcar el inicio y el fin de un proceso.

 

Imagina a una estudiante llamada Morgan, quien está comprando una laptop que cuesta $1,080 para usarla en la escuela. Morgan va a aprovechar el plan de pagos de la tienda para hacer la compra—ella pagará $45 al mes por 24 meses.

 

Morgan quiere saber cuánto le queda debiendo a la tienda después de cada mensualidad. Ella puede representar su deuda haciendo una gráfica. El eje x representa el número de meses y el eje y representa la cantidad de dinero que le falta por pagar. Morgan conoce dos puntos en su plan de pago. El día que compra la computadora, ella se encuentra a 0 meses y la deuda es de $1,080. El día que terminará de pagarla será a los 24 meses y la deuda será de $0. Con estos dos puntos, ella puede trazar una recta que va desde la intersección en y en (0, 1080) a la intersección en x en (24, 0).

 

 

 

Morgan puede usar ésta gráfica para calcular cuánto dinero le falta por pagar después de cierto número de meses.

 

Veamos otra situación en la que podemos usar las intersecciones. Ésta vez cuando sólo conocemos una intersección y queremos encontrar la otra. Joe es un salvavidas en la piscina local. Es el final del verano y la piscina está siendo vaciada. Joe tiene que vigilar la piscina hasta que quede completamente vacía para asegurarse que nadie caiga. ¿Cómo le puede hacer el pobre Joe para saber cuánto tiempo va a estar ahí?

 

Si Joe ha llevado un curso de álgebra, no habrá problema. La piscina contiene 10,200 galones de agua los cuales se vacían a un ritmo de 680 galones por hora. Joe puede usar ésta información para hacer una tabla de cuánta agua quedará en la piscina conforme pasan las horas.

 

 

Una vez que ha calculado algunos puntos, Joe puede usar una gráfica e intersecciones para averiguar cuánto tiempo se necesita para vaciar la piscina. El punto inicial de Joe es la intersección en y, donde la piscina está llena con 10,200 galones de agua y el tiempo transcurrido es 0. Él marca los puntos en la gráfica cuando han pasado 1, 2, 3 y 4 horas.

 

Ahora todo lo que tiene que hacer Joe es conectar los puntos con una recta y extenderla hasta que cruza el eje x.

 

 

 

La recta intersecta el eje x cuando x = 15. Por lo que ahora Joe sabe que le tomará a la piscina 15 horas vaciarse completamente. Será un largo día.

 

 

Hemos visto la utilidad de las intersecciones de una recta. Cuando conocemos dónde una recta cruza los ejes x y y, podemos fácilmente trazar la gráfica o encontrar la ecuación para dicha recta. Cuando conocemos una intersección y la pendiente de una recta, podemos encontrar ya sea el inicio o el fin de un proceso.