Funciones Proporcionales

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Definir las funciones proporcionales.

·         Explicar las partes de la ecuación de una función proporcional.

·         Reconocer y describir las características gráficas de una función proporcional.

 

Introducción

 

Imagina que estas con tu sobrina de 6 años en el zoológico una tarde de verano. Ella está en la edad en la que insiste en contar todo lo que ve. Mientras van caminando por el estacionamiento, ella quiere contar todas las llantas de los carros. Es tierno, pero se pierde mucho tiempo, por lo que le enseñas un truco que ella puede usar. Puede contar sólo el número de carros y luego multiplicar por 4 porque el número de llantas está relacionado de forma predecible al número de carros. Ella piensa que eso es divertido, y por fin logran entrar al zoológico.

 

Ahora tu sobrina decide que quiere contar todas las patas de los animales. ¿Es posible agilizar las cosas diciéndole que sólo cuente las cabezas y luego multiplique por una cantidad fija para obtener el número de patas? No, porque animales distintos tienen distinto número de patas — los leones tienen 4 patas, los flamencos tienen 2, y las serpientes no tienen ninguna. Al aumentar el número de animales, el número de patas no aumenta en un patrón fijo o predecible. Suspiras y te compras una bolsa extra grande de palomitas para pasar el tiempo.

 

Estas dos situaciones son relaciones — cada una de ellas tiene una variable de entrada independiente (el número de carros o el número de animales) y una variable de salida dependiente (el número de llantas o de patas). Pero la primera relación es un ejemplo de una clase especial, llamada función proporcional. Una función es proporcional cuando la salida es igual a la entrada multiplicada por una constante. El número de llantas es igual al número de carros multiplicado por 4. Si no hay carros en el estacionamiento, entonces el número de llantas es 4 por 0, o 0. Si hay 3 carros, el número de llantas es 4 por 3. Si hay 10 carros, hay 4 veces 10 llantas.

 

La Ecuación de una Función Proporcional

 

En cualquier función, una cantidad es dependiente de la otra. En el ejemplo del carro, el número de llantas depende del número de carros en el estacionamiento. Algebraicamente, podemos representar ésta relación con una ecuación.

 

llantas = 4 carros

 

El número 4 nos describe cómo es la relación entre el número de carros y el número de llantas. Todas las funciones proporcionales funcionan de la misma manera. Llamamos a esa proporción constante de variación, o constante de proporcionalidad. Es una constante porque éste número no cambia dentro de la función. Como la entrada y la salida están ligadas por una constante, cambios en la variable independiente causan un cambio proporcional en la variable dependiente en una forma constante. Ésta relación proporcional le da su nombre a las funciones proporcionales.

 

Podemos utilizar la ecuación de los carros y las llantas como base para escribir una ecuación algebraica general que funcionará para todas las funciones proporcionales. En nuestro ejemplo, las llantas son la salida, 4 es la constante, y los carros son la entrada. Pongamos éstos términos genéricos en la ecuación. Obtenemos salida = constante entrada. Ésa es la fórmula para todas las funciones proporcionales.

 

llantas = 4 carros

 

salida = constante entrada

 

Cambiémosla de una fórmula verbal a una simbólica — será más rápido de escribir. La salida de una función es también conocida como la variable dependiente y es generalmente representada simbólicamente como y. La entrada se llama variable independiente, representada por el símbolo x. Representemos la constante con la letra k. Ahora pondremos esos símbolos en la ecuación.

 

 

llantas = 4 carros

 

salida = constante entrada

 

y = kx

 

¡Y lo hemos logrado! Todas las funciones proporcionales se pueden describir con la ecuación y = kx.

 

¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan funciones proporcionales?

 

Ecuación 1:

 

Ecuación 2:

 

Ecuación 3:

 

Ecuación 4:

 

A) La Ecuación 1

B) Las Ecuaciones 2 y 3

C) La Ecuación 4

D) Las Ecuaciones 2 y 4

 

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A) Ecuación 1

Incorrecto. La Ecuación 1 tiene una sola variable. Como el valor de x cambia, no hay un cambio proporcional correspondiente en y. Sólo las Ecuaciones 2 y 3 tienen la forma y = kx de una ecuación de función proporcional. (En la Ecuación 3,k = 1.) La respuesta correcta es Las Ecuaciones 2 y 3.

 

B) Ecuaciones 2 y 3

Correcto. Las Ecuaciones 2 y 3 tienen la forma y = kx de una ecuación de función proporcional. (En la Ecuación 3, k = 1.)

 

C) Ecuación 4

Incorrecto. Las variables dependiente e independiente no están conectadas pro sólo una constante sino por una constante mas 4. Esto significa que los cambios en una variable no son proporcionales a los cambios de la otra. Sólo las Ecuaciones 2 y 3 tienen la forma y = kx de una ecuación de función proporcional. (En la Ecuación 3, k = 1.) La respuesta correcta es Las Ecuaciones 2 y 3.

 

D) Ecuaciones 2 y 4

Incorrecto. La Ecuación 4 no es una función proporcional, porque la salida es igual a 4 más que la entrada multiplicada por una constante. Sólo las Ecuaciones 2 y 3 tienen la forma y = kx de una ecuación de función proporcional. (En la Ecuación 3, k = 1.) La respuesta correcta es Las Ecuaciones 2 y 3.

 

 

Funciones Proporcionales en Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados

 

Como otras funciones, las funciones proporcionales pueden ser descritas y exploradas usando tablas y conjuntos de pares ordenados. Veamos cómo las tablas de funciones proporcionales pueden ser útiles.

 

Mary trabaja en un puesto cerca de la granja familiar, vendiendo huevos a $1.99 por cartón los fines de semana. Cuando los clientes compran muchos cartones, ella tiene que sumar los totales con lápiz y papel, y le preocupa cometer errores. Por suerte, ésta es una relación proporcional — la salida (costo total) es igual a la entrada (número de cartones) multiplicada por una constante (el precio por cartón). Mary puede usar una función proporcional para obtener una tabla de precios.

 

Número de cartones

Precio total

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ahora sólo tiene que utilizar la ecuación para calcular los valores y llenar la tabla. Recuerda, la ecuación de la función proporcional es y = kx. Por lo que en éste caso, costo total = precio del cartón número de cartonesCosto total = 1.99 número de cartones.

 

Número de cartones

Precio total

1

$1.99

2

$3.98

3

$5.97

4

$7.96

5

$9.95

6

$11.94

 

Mary puede también escribir las entradas y salidas posibles de ésta función como pares ordenados. Un cartón de huevos cuesta $1.99 y puede ser representado como (1, 1.99). Dos cartones cuestan $3.98, o (2, 3.98), y así sucesivamente.

 

(1, 1.99)

(2, 3.98)

(3, 5.97)

(4, 7.96)

(5, 9.95)

(6, 11.94)

 

Nota que en cada par ordenado el valor de y es 1.99 veces el valor de x.

 

¿Cuál es la constante de la función mostrada en la tabla?

 

A) 15

B) 1

C) Distancia

D) Tiempo

 

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A) 15

Correcto. Recuerda que nuestra fórmula para todas las funciones proporcionales es salida = constanteentrada. Si tomamos la primera fila de números en la tabla obtenemos 15 = constante • 1. Para despejar la constante dividimos ambos lados entre 1 y obtenemos 15 = constante. Podemos usar los números de cualquier fila en la tabla y encontrar la misma constante. Cada salida (tiempo) es 15 veces la entrada (distancia).

 

B) 1

Incorrecto. El número de millas cambia con una tasa de 1 cada 15 minutos, pero la distancia es la variable de entrada en ésta tabla, no la salida. Cada salida (tiempo) es 15 veces la entrada (distancia), por lo que la respuesta correcta es 15.

 

C) Distancia

Incorrecto. La distancia se incrementa con una tasa constante, pero es la entrada, no la constante. En la tabla, la salida (tiempo) es 15 veces la entrada (distancia), por lo que 15 es la constante. La respuesta correcta es 15.

 

D) Tiempo

Incorrecto. El tiempo se incrementa con una tasa constante, pero es la salida, no la constante. En la tabla, la salida (tiempo) es 15 veces la entrada (distancia), por lo que 15 es la constante. La respuesta correcta es 15.

 

 

 

Funciones Proporcionales en Gráficas

 

Cuando las funciones proporcionales son graficadas, muestran algunas características distintivas — todas las funciones proporcionales son una línea recta que pasa a través del origen.

 

Grafiquemos la función costo/cartón que hemos estado discutiendo.

 

 

 

Ésta es una función discreta — está hecha de puntos individuales, porque el puesto de la granja sólo vende cartones de huevo completos. Pero podemos ver que todos los puntos están espaciados de manera uniforme, y aparentemente forman una línea recta. También podemos ver que a pesar de no estar graficado, el punto (0,0) satisface la función — el costo de 0 cartones sería de $0.

 

Ahora veamos la gráfica de una función proporcional continua para ver cómo se comparan. Imagina un grifo que vierte agua en una tina a un ritmo de 2.5 galones por minuto. La cantidad de agua en la tina varía directamente con la cantidad de tiempo que el grifo ha estado abierto. Podemos representar ésta relación entre el tiempo y el agua en la tina con la siguiente fórmula:

 

Total de galones = 2.5 galones/minuto tiempo en minutos

 

Usando g para representar el total de galones de agua y t para representar el tiempo, podemos abreviar ésta relación como g = 2.5t, la cual se ve muy familiar a la fórmula estándar de funciones proporcionales, y = kx.

 

Construyamos una tabla para representar la relación entre el tiempo y la cantidad de agua en la tina. Después de 1 minuto, hay 2.5 galones en la tina. En 2 minutos, el total es 5 galones, y así sucesivamente. Para encontrar la cantidad total de agua en la tina en cualquier momento, podemos multiplicar el tiempo por 2.5 galones por minuto. Seis minutos nos dan suficiente puntos para crear una tabla que nos sirva.

 

Tiempo

Total de galones

1

2.5

2

5.0

3

7.5

4

10.0

5

12.5

6

15.0

 

Ahora podemos graficar esos puntos.

 

 

 

Ésta vez trazaremos una línea que conecte a los puntos, ya que el tiempo y el agua se incrementan continuamente. Y mira — los puntos quedan en una línea recta que inicia en el origen y se levanta en con un ángulo constante, justo como la gráfica anterior. Cuando las variables en una función cambian con un ritmo o una tasa constante como ésta, tienen una relación proporcional. Ésta tasa de cambio constante se llama constante de variación.

 

¿Cuál línea es una función proporcional?

 

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

La línea 3 es una línea recta que incluye el origen, lo que la hace una función proporcional.

 

 

 

Sumario

 

En una función proporcional, la salida es igual a la entrada multiplicada por una constante. La constante describe la tasa con la que las variables cambian. Como ésta tasa, o constante de variación, no cambia, las funciones proporcionales tienen una ecuación y una gráfica distintivas. Todas las funciones proporcionales tienen la fórmula y = kx y forman una línea recta que termina o pasa por el origen.