Resolviendo Ecuaciones de Varios Pasos

 

Objetivo de Aprendizaje

·         Simplificar ecuaciones algebraicas usando las Propiedades de la Igualdad y la Propiedad Distributiva para eliminar paréntesis y fracciones.

 

Introducción

 

Existen ecuaciones que puedes resolver fácilmente en tu cabeza. Si te pido resolver 2y = 4, es probable que no necesites papel y lápiz para calcular que y = 2. Sólo necesitas hacer una operación para obtener la respuesta, dividir entre 2.

 

Otras ecuaciones son más complicadas. ¿Puedes resolver  sin escribir nada? Yo tampoco. Y es porque no sólo contiene una variable, sino que también fracciones y términos dentro de paréntesis. Esta es una ecuación de varios pasos, una ecuación que toma varias operaciones para resolver. Pero no te preocupes. A pesar de que toma más tiempo y más operaciones, las ecuaciones de varios pasos pueden ser simplificadas y resueltas si aplicamos reglas algebraicas básicas. Dos herramientas útiles son la Propiedad Distributiva y la multiplicación por un común denominador.

 

Eliminando Paréntesis con la Propiedad Distributiva

 

Al igual que con las ecuaciones simples, resolver ecuaciones de varios pasos consiste en despejar una variable hacia un lado del signo igual. Debemos sacar la variable de los paréntesis paso por paso, lejos de otros términos, y con un coeficiente de 1. Si la variable está dentro de paréntesis, estos pueden ser eliminados al aplicar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.

 

La Propiedad Distributiva establece que para todos los números reales a, b, y c, . Lo que significa que cuando un número multiplica a una expresión dentro de paréntesis, podemos distribuir la multiplicación a cada término de la expresión de manera individual. Volvamos a la ecuación . Podemos aplicar la propiedad distributiva y eliminar los paréntesis si multiplicamos por 6 cada término dentro de ellos. La expresión  se convierte en . Ahora ya no hay paréntesis.

 

 

 

 

 

 

¿En cuál de las siguientes expresiones ha sido aplicada la propiedad distributiva a la ecuación ?

 

A)

B)

C)

D)

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A)

Incorrecto. Todos los términos dentro de los paréntesis deben ser multiplicados por el valor externo. La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. Cuando se aplica la Propiedad Distributiva, la multiplicación se aplica sólo a los términos entre paréntesis, no a las otras partes de la ecuación. La respuesta correcta es .

 

C)

Correcto. La Propiedad Distributiva nos permite distribuir la multiplicación de toda una expresión a cada uno de los términos separadamente.

 

D)

Incorrecto. Todos los términos dentro de los paréntesis deben ser multiplicados por el valor externo. La respuesta correcta es .

 

 

 

Eliminando Fracciones usando Denominadores Comunes

 

Hemos visto cómo simplificar ecuaciones de varios pasos aplicando la Propiedad Distributiva para eliminar paréntesis. Es también útil simplificar ecuaciones que incluyen fracciones antes de tratar de resolverlas. Podemos hacer esto si multiplicamos ambos lados por un denominador que sea común a todas las fracciones de la ecuación.

 

Volvamos a la ecuación . El común denominador más bajo de las fracciones  y  es 8. Por lo que multiplicamos la expresión con éstas fracciones por 8. Ya que debemos preservar la igualdad de la ecuación, multiplicaremos también por 8 la expresión que está en el otro lado. Ahora tenemos .

 

Pero espera, hemos puesto paréntesis en la ecuación otra vez. ¿Y ahora qué? Simple, volvemos a utilizar nuestra vieja amiga la Propiedad Distributiva. Una vez que multiplicamos por 8 cada término dentro de los paréntesis, ambos, los paréntesis y las fracciones desaparecen. Perfecto.

 

 

 

 

 

 

 

 

Para eliminar las fracciones de , ¿Qué números podemos utilizar para multiplicar ambos lados de la ecuación?

 

3   6   9  18

 

A) 6

B) 3 y 6

C) 9

D) 6 y 18

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) 6

Incorrecto. Mientras que 6 es común denominador de  y , también lo es 18. Cualquiera de los dos denominadores funcionaría, no sólo el menor. La respuesta correcta es 6 y 18.

 

B) 3 y 6

Incorrecto. Mientras que 6 es común denominador de  y , 3 no lo es. La respuesta correcta es 6 y 18.

 

C) 9

Incorrecto. Eliminamos las fracciones multiplicando por un común denominador. 9 no es común denominador de  y . La respuesta correcta es 6 y 18.

 

D) 6 y 18

Correcto. Ambos el 6 y el 9 son denominadores comunes de  y .

 

 

 

Sumario

 

Ecuaciones complejas normalmente requieren varios pasos para ser solucionadas. Antes de que podamos empezar a despejar una variable, probablemente debamos simplificar la ecuación. Esto significa que podemos eliminar paréntesis usando la Propiedad Distributiva, o multiplicar ambos lados de la ecuación por un común denominador para deshacernos de las fracciones. Algunas veces requerimos ambas técnicas.