Resolviendo Ecuaciones

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Despejar variables usando la Propiedad Inversa y las Operaciones Inversas.

·         Resolver ecuaciones algebraicas usando las Propiedades de la Igualdad.

 

Introducción

 

Las matemáticas tratan con ecuaciones. Las ecuaciones nos proporcionan una forma precisa de describir, compartir y resolver problemas. Las ecuaciones algebraicas nos permiten explorar aún más allá pues nos permiten abordar problemas que incluyen cantidades desconocidas.

 

Para tener éxito con el álgebra, debes entender qué son las ecuaciones y como se escriben y se resuelven.

 

Partes de una Ecuación

 

Una ecuación es una declaración matemática donde dos expresiones son iguales. En una ecuación numérica simple, expresiones hechas de números y operaciones aparecen a cada lado del signo igual. El signo igual significa que las dos expresiones tienen el mismo valor. Por ejemplo, 3 + 9 = 12 es una ecuación. La expresión de la izquierda, 3 + 9, tiene el mismo valor que la expresión de la derecha, 12. Se escriben de distintas maneras, pero las dos representan la misma cantidad.

 

Las ecuaciones algebraicas no sólo tienen números, sino también variables, símbolos que representan una cantidad desconocida. Las variables son normalmente letras como x, y, o z. Algunas veces, una variable estará siendo multiplicada por un número. Este número se llama coeficiente de la variable.

 

 

En la ecuación 2y = 14, ¿cuál es la variable y cuál es el coeficiente?

 

A) La variable es y y el coeficiente es 2.

B) La variable es y y el coeficiente es 14.

C) La variable es 14 y el coeficiente es 2.

D) La variable es 2 y el coeficiente es y.

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

La respuesta correcta es la opción A. La variable es y y el coeficiente es 2. Una variable es un símbolo, y un coeficiente es un número que multiplica a la variable.

 

 

Resolviendo Ecuaciones

 

Las ecuaciones no son fijas, pueden ser modificadas, siempre y cuando la igualdad se mantenga en ambos lados del signo igual. Reescribimos ecuaciones para hacerlas más simples o para resolverlas.

 

La solución de ecuaciones algebraicas a menudo significa despejar o aislar la variable, o reescribir la ecuación de tal forma que una expresión sea sólo la variable con un coeficiente de 1. Para despejar la variable, necesitamos encontrar la forma de mandar el resto de su expresión y su coeficiente al otro lado de la ecuación. 

 

Despejando Variables con la Propiedad Inversa

 

Hay dos formas de dejar a la variable sola usando la Propiedad Inversa.

 

La Propiedad Inversa de la Suma nos dice que cualquier número sumado con su opuesto resulta cero. Podemos usar ésta propiedad para deshacernos de cualquier valor que esté junto a la variable.

 

Por ejemplo, en la expresión y + 2, podemos quitar el 2 sumando su opuesto, -2.  y + 2 + (-2) es y + 0. Y queda sólo y.  Hemos eliminado un número de la expresión al sumarle su opuesto.

 

 

La Propiedad Inversa de la Multiplicación nos dice que cuando multiplicamos cualquier número por su inverso, el resultado es 1.

 

Considera la expresión 4y. 4 es el coeficiente de la variable y. Queremos que la variable tenga un coeficiente de 1. Entonces, multipliquemos 4y por el inverso multiplicativo de 4. El inverso de 4 es ¼. Cuando multiplicamos ¼ por 4y los 4’s se cancelan, dejando sólo 1y. Hemos convertido el coeficiente de y en 1 multiplicando el coeficiente por su inverso multiplicativo.

 

 

 

Despejando Variables con la Operación Inversa

 

Hay una forma un poco diferente de hacer lo mismo, despejar términos y reducir sus coeficientes a 1 y es mediante la aplicación de Operaciones Inversas. A algunas personas les parece ésta idea más sencilla de manejar que las Propiedades Inversas. Las operaciones inversas vienen en pares, una operación cancela o deshace a la otra. Un ejemplo no matemático de una operación inversa es el atar y desatar tus agujetas. Al atar tus zapatos, creas un nudo simple; al desatarlos deshaces el nudo.

 

En las matemáticas, la suma y la resta son operaciones inversas, cualquier cosa añadida por la suma se puede quitar con la resta.

 

Por ejemplo, considera la expresión 9 + 8. Podemos "deshacer" la suma de 8 si añadimos la operación inversa que es restar 8.  9 + 8 – 8 es simplemente 9. La suma y la resta de 8 se han cancelado una a la otra.

 

 

La multiplicación y la división son también operaciones inversas. La multiplicación puede deshacerse usando la división, y la división puede deshacerse usando la multiplicación. En la expresión 6x, x está siendo multiplicada por 6. Podemos cancelar la multiplicación si dividimos entre 6. 6x dividido entre 6 es simplemente x.

 

 

 

 

¿Cómo despejarías la variable en la expresión ?

 

A) Dividiendo entre 3.

B) Multiplicando por .

C) Multiplicando por 3.

D) Dividiendo entre n.

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Dividiendo entre 3. Incorrecto. Es posible cancelar una operación al aplicar la operación inversa. Como la variable n esta siendo dividida entre 3, la operación inversa no es otra división entre 3 sino la multiplicación por 3. La respuesta correcta es multiplicar por 3.

 

B) Multiplicando por .

Incorrecto. Puedes eliminar un coeficiente al multiplicar por su inverso. El inverso de 1/3 es 3, no 1/3. O puedes cancelar la operación al aplicar la operación inversa. Como la variable n esta siendo dividida entre 3, la operación inversa no es otra división sino la multiplicación por 3.

 

C) Multiplicando por 3.

Correcto. Puedes eliminar un coeficiente al multiplicarlo por su inversa. La inversa de 1/3 es 3. O puedes cancelar la operación si aplicas la operación inversa: la división de n entre 3 puede ser eliminada por la multiplicación por 3.

 

D) Dividiendo entre n.

Incorrecto. Despejar la variable significa eliminar su coeficiente de tal forma que la variable quede aislada y con coeficiente 1. La división entre n elimina la variable y despeja el coeficiente. La respuesta correcta es multiplicar por 3.

 

 

 

Resolviendo Ecuaciones usando las Propiedades de la Igualdad

 

La Propiedad Inversa y las Operaciones Inversas son sólo la mitad de la historia al manipular ecuaciones. Recuerda, la definición de una ecuación es que es una declaración de igualdad entre dos expresiones. Una forma de pensar en una ecuación es imaginando que las expresiones que la forman están en cada lado de una balanza. Como las expresiones tienen el mismo valor, la balanza está equilibrada.

 

Cuando sumamos, multiplicamos, restamos o dividimos una de esas expresiones, cambiamos su valor. Si sólo hacemos eso, rompemos con el equilibrio de la balanza, los dos lados de la ecuación ya no serían iguales.

 

Por suerte, las Propiedades de la Igualdad nos explican cómo podemos mantener la balanza y la ecuación equilibradas. Cada que realizamos una operación en un lado de la ecuación, si hacemos exactamente lo mismo del otro lado, mantenemos ambos lados iguales.

 

Veamos cómo funciona esto en una ecuación numérica simple ½(10) − 1 = 4. Deshagámonos del -1 que está del lado izquierdo de la ecuación al sumar su opuesto, +1.

 

Necesitamos balancear este cambio haciendo exactamente lo mismo del lado derecho de la ecuación. Por lo que debemos sumar +1 a 4.

 

Como -1 + 1 = 0, la expresión de la izquierda se convierte en ½(10). En el lado derecho de la ecuación, 4 +1 es igual a 5, por lo que la expresión es ahora 5. Nota que los dos lados de la ecuación siguen estando equilibrados, siguen siendo iguales entre sí.

 

 

 

 

¿Cómo resolverías la ecuación 5 + 7z = 19?

 

A) Restando 5 a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados entre 7.

B) Dividiendo ambas expresiones entre 7 y luego sumar -5 a ambos lados de la ecuación.

C) Sumando -5 al lado izquierdo de la ecuación y luego multiplicando por 1/7.

D) Sumando 5 a ambos lados de la ecuación y luego multiplicar cada lado por 7.

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Restando 5 a ambos lados de la ecuación y dividiendo ambos lados entre 7.

Correcto. Puedes despejar la variable usando operaciones inversas para primero quitar otros términos en la expresión y luego eliminar el coeficiente de la variable. Siempre y cuando las mismas operaciones sean realizadas a ambos lados de la ecuación.

 

B) Dividiendo ambas expresiones entre 7 y luego sumar -5 a ambos lados de la ecuación.

Incorrecto. Debes primero eliminar otros términos en la expresión y luego cambiar el coeficiente de la variable a 1. La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

 

C) Sumando -5 al lado izquierdo de la ecuación y luego multiplicando por 1/7.

Incorrecto. La igualdad de la expresión se pierde si las mismas operaciones no son realizadas a ambos lados de la ecuación. La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

 

D) Sumando 5 a ambos lados de la ecuación y luego multiplicar cada lado por 7.

Incorrecto. Puedes despejar una variable sumando el inverso de los otros términos y multiplicando el por el inverso del coeficiente. Pero el inverso de 5 es -5, y el inverso de 7 es 1/7. La respuesta correcta es restar 5 a ambos lados de la ecuación y luego dividir ambos lados entre 7.

 

 

 

Sumario

 

Las ecuaciones son expresiones matemáticas que combinan dos expresiones que tienen el mismo valor.

 

Existen varias técnicas para resolver ecuaciones algebraicas, las cuales son ecuaciones que contienen variables. Todas las técnicas tienen el mismo objetivo que es el de despejar o aislar una variable en un lado de la ecuación usando las propiedades de la igualdad y la inversa para así mandar los otros términos al otro lado de la ecuación.