Máximo Factor Común

Objetivos de Aprendizaje

· Encontrar el máximo factor común (MFC) de un monomio.

· Factorizar polinomios factorizando el máximo factor común (MFC).

· Factorizar expresiones con cuatro términos reagrupando.

Introducción

Los factores son los bloques de construcción de la multiplicación. Son números que puedes multiplicar uno con otro para producir otro número: 2 y 10 son factores de 20, al igual que 4 y 5 y 1 y 20. Factorizar un número es reescribirlo como un producto. 20 = 4 • 5.

De la misma manera, para factorizar un polinomio, lo reescribes como un producto. Así como cualquier entero puede escribirse como el producto de factores, también cualquier monomio o polinomio puede ser expresado como el producto de factores. Factorizar es muy útil para simplificar y resolver ecuaciones usando polinomios.

Un factor primo es similar a un número primo — tiene como factores solamente a sí mismo y al 1. El proceso de descomponer un número en sus factores primos se llama factorización prima.

Máximo Factor Común

Primero encontremos el máximo factor común (MFC) de dos números enteros. El MFC de dos números es el número mayor que es un factor de ambos números. Por ejemplo los números 50 y 30.

                                    50 = 10 • 5

                                    30 = 10 • 3

Su máximo factor común es 10, porque 10 es el factor más grande que ambos números tienen en común.

Para encontrar el MFC de números más grandes, puedes factorizar cada número para encontrar sus factores primos, identificar los factores primos que tienen común, y luego multiplicarlos.

Ejemplo
Problema	Encontrar el máximo factor común de 210 y 168.
	210 = 2 • 3 • 5 • 7
	168 = 2 • 2 • 2 • 3 • 7
	MFC = 2 • 3 • 7
Respuesta	MFC = 42

Ya que el MFC es el producto de los factores primos que esos números tienen en común, sabes que es un factor para ambos números. (Si quieres probar esto, divide 210 y 168 entre 42 — ¡ambos son divisibles por este número!)

Encontrar el máximo factor común en un conjunto de monomios no es muy distinto de encontrar el MFC de dos números enteros. El método sigue siendo el mismo: factoriza independientemente cada monomio, encuentra los factores comunes, y luego multiplícalos para obtener el MFC.

Ejemplo
Problema	Encontrar el máximo factor común de 25b^3 y 10b^2.
	25b^3 = 5 • 5 • b • b • b
	10b^2 = 5 • 2 • b • b
	MFC = 5 • b • b
Respuesta	MFC = 5b^2

Los monomios tienen los factores comunes 5, b, y b, lo que significa que su máximo factor común es 5 • b • b, o simplemente 5b².

Ejemplo
Problema	Encontrar el máximo factor común de 81c^3d y 45c^2d^2.
	81c^3d = 3 • 3 • 3 • 3 • c • c • c • d
	45c^2d^2 = 3 • 3 • 5 • c • c • d • d
	MFC = 3 • 3 • c • c • d
Respuesta	MFC = 9c^2d

Encontrar el máximo factor común de 56xy y 16y³.

A) 8

B) 8y

C) 16y

D) 8xy³

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A) 8

Incorrecto. 8 es un factor común, pero también debes tomar en cuenta los términos variables que los dos monomios tienen en común. La respuesta correcta es 8y.

B) 8y

Correcto. La expresión 56xy puede factorizarse como 2 • 2 • 2 • 7 • x • y, y 16y³ puede factorizarse como 2 • 2 • 2 • 2 • y • y • y. Tienen en común los factores 2 • 2 • 2 y y. La multiplicación de ambos te dará el MFC: 8y.

C) 16y

Incorrecto. y es un factor común, pero 16 no lo es — 56 ni siquiera es divisible entre 16. Piensa en números que sean factores de 56 y de 16. La respuesta correcta es 8y.

D) 8xy³

Incorrecto. 8 es un factor común, pero también debes tomar en cuenta los términos variables que los dos monomios tienen en común. el término xy³ no es un factor de ninguno de los monomios. La respuesta correcta es 8y.

Usando el MFC para Factorizar Polinomios

Cuando se combinan dos o más monomios (ya sea sumados o restados), la expresión resultante se llama polinomio. Si puedes encontrar los factores comunes para cada término del polinomio, entonces puedes factorizar el polinomio.

Al examinar los siguientes ejemplos de polinomios simples, trata de identificar los factores que tienen en común los términos del polinomio.

Polinomio	Términos	Factores Comunes
6x + 9	6x y 9	3 es un factor de 6x y 9
a^2 – 2a	a^2 y −2a	a es un factor de a^2 y −2a
4c^3 + 4c	4c^3 y 4c	4 y c son factores de 4c^3 y 4c

Para factorizar un polinomio, primero identifica el máximo factor común de los términos. Entonces puedes usar la propiedad distributiva para reescribir el polinomio en su forma factorizada. Recuerda que la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma dice que el producto de un número y una suma es lo mismo que la suma de los productos.

En el producto de un número con una suma: a(b + c) = a • b + a • c. Puedes decir que la “a esta siendo distribuida sobre b + c.”

En la suma de productos:  a • b + a • c = a(b + c). Aquí puedes decir que la “a está siendo factorizada.”

En ambos casos se está usando la propiedad distributiva.

	Ejemplo
Problema		Factorizar 25b^3 + 10b^2.
		25b^3 = 5 • 5 • b • b • b 10b^2 = 5 • 2 • b • b MFC = 5 • b • b = 5b^2	Encuentra el MFC. Del ejemplo anterior, encontramos que el MFC de 25b^3 y 10b^2 es 5b^2.
		25b^3 = 5b^2 • 5b 10b^2 = 5b^2 • 2	Reescribe cada término con el MFC como un factor.
		5b^2(5b) + 5b^2(2)	Reescribe el polinomio usando los términos factorizados en lugar de los términos originales.
		5b^2(5b + 2)	Factoriza el 5b^2.
Respuesta		5b^2(5b + 2)

La forma factorizada del polinomio 25b³ + 10b² es 5b²(5b + 2). Puedes comprobar esto haciendo la multiplicación. 5b²(5b + 2) = 25b³ + 10b².

Observa que si no factorizas el principio el máximo factor común, puedes continuar factorizando, en lugar de empezar de nuevo.

Por ejemplo:

            25b³ + 10b² = 5(5b³ + 2b²)   Factoriza el 5.

                                = 5b²(5b + 2)   Luego factoriza b².

Observa que llegas a la misma forma simplificada, ya sea que factorices el MFC inmediatamente o encuentres los factores individualmente.

Ejemplo
Problema	Factorizar 81c^3d + 45c^2d^2.
	3 • 3 • 9 • c • c • c • d	El factor es 81c^3d.
	3 • 3 • 5 • c • c • d • d	El factor es 45c^2d^2.
	3 • 3 • c • c • d = 9c^2d	Encuentra el MFC.
	81c^3d  = 9c^2d(9c) 45c^2d^2 = 9c^2d(5d)	Reescribe cada término como el producto del MFC y los términos restantes.
	9c^2d(9c) + 9c^2d(5d)	Reescribe la expresión polinómica usando los términos factorizado en lugar de los términos originales.
	9c^2d(9c + 5d)	Factoriza el 9c^2d.
Respuesta	9c^2d(9c + 5d)

Factoriza 8a⁶ – 11a⁵.

A) 88(a⁶ – a⁵)

B) 8a(a⁵ – 3)

C) a⁵(a – 1)

D) a⁵(8a – 11)

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A) 88(a⁶ – a⁵)

Incorrecto. 88 es el mínimo común múltiplo, no el máximo factor común, de 11 y 8. Si 88(a⁶ – a⁵) fuera expandido se convertiría en 88a⁶ – 88a⁵, no 8a⁶ – 11a⁵. La respuesta correcta es a⁵(8a – 11).

B) 8a(a⁵ – 3)

Incorrecto. 8 no es factor común de 8 y 11. ISi8a(a⁵ – 3) fuera expandido se convertiría en 8a⁶ – 24a, no 8a⁶ – 11a⁵. La respuesta correcta es a⁵(8a – 11).

C) a⁵(a – 1)

Incorrecto. a⁵ es un factor común, pero los valores 8 y 11 han sido dejados fuera de la factorización. Si a⁵(a – 1) fuera expandido se convertiría en a⁶ – a⁵, no 8a⁶ – 11a⁵. La respuesta correcta es a⁵(8a – 11).

D) a⁵(8a – 11)

Correcto. Los valores 8 y 11 no comparten factores comunes, pero el MFC de a⁶ y a⁵ es a⁵. Por lo que puedes factorizar a⁵ y reescribir el polinomio como a⁵(8a – 11).

Factorización por Agrupación

La propiedad distributiva te permite encontrar factores comunes. Sin embargo, ¿qué haces si los términos en el polinomio no tienen ningún factor en común?

Si no hay un factor común para todos los términos de un polinomio, se necesita aplicar otra técnica para ver si el polinomio puede ser factorizado. Consiste en organizar el polinomio en grupos.

Ejemplo
Problema	Factorizar 4ab + 12a + 3b + 9
	(4ab + 12a) + (3b + 9)	Agrupa los términos en pares.
	4ab = 2 • 2 • a • b 12a = 3 • 2 • 2 • a MFC = 4a	Encuentra el MFC del primer par de términos.
	(4a • b + 4a • 3) + (3b + 9) 4a(b + 3) + (3b + 9)	Factoriza el MFC, 4a, del primer grupo.
	3b = 3 • b 9 = 3 • 3 MFC =3	Encuentra el MFC del segundo par de términos.
	4a(b + 3) +(3 • b + 3 • 3) 4a(b + 3) + 3(b + 3)	Factoriza el 3 del segundo grupo.
	4a(b + 3) + 3(b + 3) (b + 3)(4a + 3)	Observa que los dos términos tienen el factor común (b + 3). Factoriza el factor común (b + 3) de ambos términos.
Respuesta	(b + 3)(4a + 3)

Observa que cuando factorizas dos términos, el resultado es la multiplicación de un monomio por un polinomio. Pero la forma factorizada de un polinomio de 4 términos es el producto de dos binomios.

Este proceso se llama técnica de agrupación. A continuación mostramos cómo se hace, dividido en pasos individuales, (también puedes seguir el proceso en el ejemplo siguiente).

• Agrupar en pares los términos del polinomio.
• Factorizar cada par de términos (encontrar el máximo factor común y luego usar la propiedad distributiva para obtener el MFC).
• Buscar factores comunes entre las formas factorizadas de los términos agrupados en pares.
• Factorizar el polinomio común de los grupos.

Intentemos factorizar algunos polinomios de cuatro términos. Observa en el ejemplo siguiente, el primer término es x², y x es la única variable presente.

Ejemplo
Problema	Factorizar x^2 + 2x + 5x + 10
	(x^2 + 2x) + (5x + 10)	Agrupa en pares los términos del polinomio.
	x(x + 2) + (5x + 10)	Factoriza el factor común, x, del primer grupo
	x(x + 2) + 5(x + 2)	Factoriza el factor común, 5, del segundo grupo.
	(x + 2)(x + 5)	Busca los factores comunes entre las formas factorizadas de los pares. Aquí el factor común es (x + 2). Factoriza el factor común, (x + 2), de ambos términos. El polinomio ha quedado factorizado.
Respuesta	(x + 2)(x + 5)

Este método de factorización sólo funciona en algunos casos. Observa que ambos factores contienen el término x.

Ejemplo
Problema	Factorizar 2x^2 – 3x + 8x – 12.
	(2x^2 – 3x) + (8x – 12)	Agrupa los términos en pares.
	x(2x – 3) + 4(2x – 3)	Factoriza el factor común, x, del primer grupo y el factor común, 4, del segundo grupo.
	(x + 4)(2x – 3)	Factoriza el factor común, (2x – 3), de ambos términos.
Respuesta	(x + 4)(2x – 3)

Ejemplo
Problema	Factorizar 3x^2 + 3x – 2x – 2.
	(3x^2 + 3x) + (−2x – 2)	Agrupa los términos en pares. Como la resta es lo mismo que la suma con el opuesto, puedes escribir −2x – 2 como + (−2x – 2).
	3x(x + 1) + (−2x – 2)	Factoriza el factor común 3x del primer grupo.
	3x(x + 1) −2(x + 1)	Factoriza el factor común −2 del segundo grupo. Observa lo que le sucede a los signos dentro del paréntesis cuando el −2 es factorizado.
	(x + 1)(3x – 2)	Factoriza el factor común, (x + 1), de ambos términos.
Respuesta	(x + 1)(3x – 2)

Factorizar 10ab + 5b + 8a + 4.

A) (2a + 1)(5b + 4)

B) (5b + 2a)(4 + 1)

C) 5(2ab + b + 8a + 4)

D) (4 + 2a)(5b + 1)

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A) (2a + 1)(5b + 4)

Correcto. El polinomio 10ab + 5b + 8a +4 puede reagruparse como (10ab + 5b) + (8a +4). Sacando los factores comunes, para encontrar: 5b(2a + 1) + 4(2a + 1). Como (2a + 1) es un factor común, la forma factorizada es (2a + 1)(5b + 4).

B) (5b + 2a)(4 + 1)

Incorrecto. Cuando factorizas 5b de 10ab y 5b, el 2a y el 1 sobrantes también deben ser sumados y multiplicados por el factor común 5b: 5b(2a + 1). De manera similar, factorizando el 4 del 8a + 4 resulta en 4(2a + 1). Luego factorizas (2a + 1) de la suma de esas expresiones para obtener la factorización correcta, (2a + 1)(5b + 4).

C) 5(2ab + b + 8a + 4)

Incorrecto. El 5 es factor común de 10ab + 5b solamente, resultando 5b(2a + 1). El otro par, 8a + 4, tiene el factor común 4. Factorizando ambos resulta en 4(2a + 1). Como ambas expresiones tienen el factor común 2a + 1, puedes factorizar de nuevo para obtener (2a + 1)(5b + 4).

D) (4 + 2a)(5b + 1)

Incorrecto. Identificaste correctamente 5b como factor de un par, dejando 2a y 1, y 4 como el factor del otro par, y también dejando 2a y 1. Sin embargo, esto resulta en 5b(2a + 1) + 4(2a + 1). Si tuvieras 5bx + 4x, podrías factorizar la x para obtener x(5b + 4), entonces factorizar el (2a + 1) resulta en (2a + 1)(5b + 4).

Algunas veces, encontrarás polinomios que, a pesar de tus mejores esfuerzos, no pueden factorizarse en el producto de dos binomios.

Ejemplo
Problema	Factorizar 7x^2 – 21x + 5x – 5.
	(7x^2 – 21x) + (5x – 5)	Agrupa los términos en pares.
	7x(x – 3) + (5x – 5)	Factoriza el factor común 7x del primer grupo.
	7x(x – 3) + 5(x – 1)	Factoriza el factor común 5 del segundo grupo.
	7x(x – 3) + 5(x – 1)	Los dos grupos 7x(x – 3) y 5(x – 1) no tienen factores comunes, por lo que este polinomio no puede factorizarse mas.
Respuesta	No puede factorizarse

En el ejemplo anterior, cada par puede factorizarse, ¡pero luego no hay ningún factor común entre los pares!

Sumario

Un número entero, un monomio, o un polinomio puede expresare como el producto de factores. Puedes usar la misma lógica que aplicas para factorizar enteros para factorizar polinomios. Para factorizar un polinomio, primero identifica el máximo factor común de los términos, y luego aplica la propiedad distributiva para reescribir la expresión. Una vez que un polinomio de la forma a • b + a • c ha sido reescrito como a(b + c), donde a es el MCF, el polinomio está en su forma factorizada.

Debes reagrupar para factorizar un polinomio de cuatro términos, encuentra el factor común de los pares de términos en lugar de todo el polinomio. Usa la propiedad distributiva para reescribir los términos agrupados como el factor común multiplicado por el binomio. Finalmente, saca los binomios comunes de los grupos factorizados. El polinomio factorizado será el producto de los dos binomios.