Simplificando y Evaluando Polinomios con Más de Un Término

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Evaluar un polinomio para valores dados a cada variable.

·         Simplificar polinomios juntando términos semejantes.

 

 

Has estudiado polinomios hechos de constantes y/o variables combinadas con suma o resta. Las variables pueden incluir exponentes. Los ejemplos hasta ahora han estado limitados a expresiones como 5x⁴ + 3x³ – 6x² + 2x que contienen una variable, pero los polinomios también pueden contener múltiples variables. Un ejemplo de un polinomio con dos variables es 4x²y – 2xy² + x – 7.

 

Muchas fórmulas son polinomios con más de una variable, la fórmula del área superficial de un prisma rectangular es: 2ab + 2bc + 2ac, donde a, b, y son las longitudes de los tres lados. Sustituyendo en los valores de las longitudes, puedes determinar el valor del área superficial. Aplicando los mismos principios para polinomios de una variable, puedes evaluar o combinar términos comunes en polinomios de más de una variable.

 

 

Cuando evalúas una expresión para un valor dado, sustituyes ese valor en la expresión, y encuentras su valor numérico. En el siguiente ejemplo, x = −2, reemplazas todas las x’s con un valor de −2 y simplificas la expresión siguiendo el orden de las operaciones.

 

 

 

 

Puedes seguir el mismo procedimiento cuando hay dos variables en una expresión. Veamos otro ejemplo.

 

 

 

 

De la misma forma que con polinomios de una variable, debes poner atención a las reglas de los exponentes y el orden de las operaciones para que puedas evaluar correctamente una expresión con dos o más variables.

 

 

 

 

 

 

El siguiente ejemplo muestra cómo evaluar un polinomio con dos variables. Este polinomio es la fórmula del perímetro para un rectángulo.

 

 

 

 

Evaluar 2x3 – xy2 + 6 para x = −2 y y = 5   A) −158   B) −60   C) 14   D) 40     Mostrar/Ocultar Respuesta A) −158 Incorrecto. A menos que haya paréntesis, un exponente sólo afecta a la variable inmediata a su izquierda. Entonces, el exponente 3 no aplica al 2 en ese término, sólo a la variable x. También sucede así en el siguiente término, x no se eleva al cuadrado. La respuesta correcta es 40.   B) −60 Incorrecto. Ten más cuidado con los signos, el termino de en medio es 50 positivo, no negativo. Cuando sustituyes los valores en las variables, obtienes 2(−2)3 – (−2)(5)2 + 6, que se simplifica a 2(−8) – (−2)(25) + 6, y es igual a −16 + 50 + 6. La respuesta correcta es 40.   C) 14 Incorrecto. Un exponente indica el número de veces un valor debe usarse como factor. x3 significa  “x veces x veces x”, no “x veces 3.”  2(−2)( −2)( −2) – (−2)(5)(5) + 6  = −16 + 50 + 6. La respuesta correcta es 40.   D) 40 Correcto. 2(−2)3 – (−2)(5)2 + 6 = −16 + 50 + 6 = 34 + 6 = 40.

 

 

 

Los matemáticos usan convenciones para escribir y describir polinomios. Un polinomio con una variable puede describirse con el número de términos que tiene y el grado del término con el exponente más grande. Los polinomios se escriben con el grado de sus términos en orden descendiente. Empecemos con el ejemplo de un polinomio con una variable: t³ – 10t² – 5t – 32. Este polinomio está escrito en orden descendiente según su grado, empezando con el término con un exponente 3 y terminando con el término cuyo grado es 0 porque no tiene variable. Este polinomio se llama polinomio de tercer grado porque su término con el grado más alto es el monomio t³. (Observa que el grado de un monomio, t³, también es 3, porque la variable t tiene un exponente de 3.)

 

Cuando un polinomio tiene más de una variable, puedes describirlo de acuerdo con su grado y el grado de sus términos. Es un poco más complicado, Veamos un polinomio con dos variables: 7x²y – 3xy³ + 2x. Este polinomio tiene tres términos y por eso puede llamarse trinomio. Para determinar el grado de un término, calculas la suma de los exponentes de todas las variables en el término.

 

 

El grado de un polinomio es el mismo que el grado del término con el grado más alto. En este caso, 7x²y – 3xy³ + 2x es un polinomio de cuarto grado.

 

 

¿Qué descripción concuerda mejor con la expresión: 2x4y – 5x3 – 10xy3?   A) Un trinomio de grado 12   B) Un trinomio de quinto grado   C) Un polinomio de tercer grado   D) Un polinomio de cuarto grado   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Un trinomio de grado 12 Incorrecto. El grado de un polinomio es el grado del término cuyos exponentes tienen la suma más alta, no la suma de todos los exponentes en el polinomio. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.   B) Un trinomio de quinto grado Correcto. 2x4y tiene un grado de 5 porque los exponentes de sus variables son 4 y 1, y 4 + 1 = 5. Este polinomio se llama trinomio porque tiene 3 términos.   C) Un polinomio de tercer grado Incorrecto. El grado de un polinomio no se determina por el número de términos, El grado es igual al grado del término cuyos exponentes tienen la suma más alta. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.   D) Un polinomio de cuarto grado Incorrecto. Cuando hay múltiples variables, encuentre el grado de un polinomio determinando qué exponentes de los términos tienen la suma más alta. Este es el grado del polinomio. El término 2x4y es el término con el grado más alto, la suma de los exponentes en el término 2x4y es 4 + 1 = 5. Como hay 3 términos, este polinomio se llama trinomio. La respuesta correcta es un trinomio de quinto grado.

 

 

 

Si un polinomio tiene términos semejantes el polinomio puede simplificarse combinando los términos semejantes.

 

Recordarás que los términos semejantes contienen el mismo número de variables elevadas a la misma potencia. También ocurre así cuando hay más de una variable – las mismas variables elevadas a la misma potencia.

 

El polinomio 3xy³z² + 5xy³z² + 6x²y³z tiene términos semejantes que pueden ser combinados. 3xy³z² y 5xy³z² son términos semejantes porque tienen las mismas variables, x, y, y z, elevadas a las mismas potencias, x, y³, y z². Pueden ser reunidas, o combinadas, para darte el resultado de 8xy³z². Observa que mientras que 6x²y³z tiene las mismas variables, x, y, y z, los exponentes en este término son distintos, x² en lugar de x, y z en lugar de z². Entonces, 6x²y³z no puede ser combinado con otros términos. En su lugar, el polinomio simplificado se escribe con dos términos: 8xy³z²  + 6x²y³z.

 

 

 

Al igual que con los polinomios de una variable, puedes combinar términos semejantes en polinomios con más de una variable combinando los coeficientes de esos términos semejantes y manteniendo la misma parte variable. Ese paso se escribe en el ejemplo siguiente. Pero para ahorrar tiempo, puedes realizar el cálculo en la mente.

 

 

 

 

Simplificar juntando los términos semejantes: 4(x2y  + 7y) – 5y(3x2 – y) – 10y   A) −11x2y + 5y2 + 18y   B) 4x2y + 11y – 8yx2 – 16y   C) 4x2y + 18y – 15yx2 + 5y2   D) 4x2y – 5y(3x2 – y) – 3y     Mostrar/Ocultar Respuesta A) −11x2y + 5y2 + 18y Correcto. 4(x2y  + 7y) – 5y(3x2 – y) – 10y = 4x2y + 28y – 15yx2 + 5y2 – 10y = 4x2y + 18y – 15yx2 + 5y2 = −11x2y + 5y2 + 18y.   B) 4x2y + 11y – 8yx2 – 16y Incorrecto. El 4 es distribuido a ambos términos en los paréntesis multiplicando por 4 cada término resultando 28y, no 11y. El −5y se distribuye también a cada término en el paréntesis, resultando −15yx2 + 5y2. La respuesta correcta es −11x2y + 5y2 + 18y.   C) 4x2y + 18y – 15yx2 + 5y2 Incorrecto. Este polinomio se puede simplificar más combinando los términos semejantes 4x2y y −15yx2. No importa el orden de las variables en un término. La respuesta correcta es −11x2y + 5y2 + 18y.   D) 4x2y – 5y(3x2 – y) – 3y Incorrecto. Antes de combinar términos semejantes, debes distribuir para eliminar los paréntesis −11x2y + 5y2 + 18y.

 

 

 

Los polinomios pueden contener más de una variable y pueden evaluarse de la misma forma que los polinomios de una variable. Para evaluar un polinomio, sustituyes los valores de la variable y realizas los cálculos para simplificar el polinomio a un valor numérico. El orden de las operaciones y las operaciones enteras deben aplicarse apropiadamente para evaluar correctamente el polinomio.

 

Los polinomios con más de una variable pueden simplificarse combinando los términos semejantes, de la misma forma que lo haces con polinomios de una variable. Los términos semejantes deben contener exactamente las mismas variables elevadas a la misma potencia. En términos con más de una variable, el orden en el que se escriben las variables no importa.