Casos Especiales de la Multiplicación

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Elevar al cuadrado un binomio.

·         Multiplicar la suma y la resta de los mismos dos términos.

 

Introducción

 

Si bien la propiedad distributiva puede usarse para toda multiplicación polinomial, algunos productos con binomios pueden calcularse usando atajos. Estos métodos se llaman productos especiales.

 

Elevando al Cuadrado la Suma de un Binomio

 

Multiplicar un número por sí mismo se le llama elevar al cuadrado. Puedes representar esta multiplicación como un cuadrado. El número elevado al cuadrado es la longitud de los lados del cuadrado y el producto es representado por el área de ese cuadrado. Considera un cuadrado cuya longitud es descrita por el binomio x + 3:

 

 

x + 3

 

 

x

+

3

 

 

El área de este cuadrado es (x + 3)(x + 3) o (x + 3)2.

 

La siguiente figura es el mismo cuadrado, pero separando la variable y los términos constantes:

 

 

x       +

3

 

 

x

 

+

x2

3x

 

 

3

3x

9

 

De este modelo de área, puedes ver que el área puede describirse como la suma de las piezas roja, verde y amarilla. El área es x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 9.

 

Entonces (x + 3)2 = x2 + 3x + 3x + 9  =  x2 + 6x + 9.

 

También puedes encontrar el cuadrado de la suma de dos términos usando el método FOIL.

 

 

Ejemplo

Problema

Elevar al cuadrado el binomio. (x + 5)2

 

(x + 5)(x + 5)

Multiplica el binomio por sí mismo.

 

x(x) = x2

x(5) = 5x

5(x) = 5x

5(5) = 25

 

First

Outer

Inner

Last

 

x2 + 5x + 5x + 25

Suma los términos.

 

x2 + 10x + 25

Combina los términos semejantes.

Respuesta

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

 

 

 

Observa que los términos Outer y Inner son los mismos.

 

Hasta ahora, tenemos dos ejemplos de elevar al cuadrado una suma de dos términos, uno construyendo un modelo de área y otro con cálculos algebraicos:

 

(x + 3)2 = x2 + 6x + 9

 

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

 

En ambos casos, el primer término se eleva al cuadrado para obtener el primer término del producto. Los dos términos se multiplican y duplican para el término de en medio del producto, y el último término se eleva al cuadrado para obtener el último término del producto.

 

Este patrón será válido para el cuadrado de la suma de cualesquiera dos términos: El cuadrado del primer término, mas el doble producto el primer término con el segundo término, mas el cuadrado del segundo término.

 

El Cuadrado de la Suma de un Binomio

 

Para elevar al cuadrado un binomio:

 

·        Elevar al cuadrado el primer término.

·        Sumar el doble producto del primer término con el segundo término.

·        Sumar el cuadrado del segundo término.

 

Este proceso se ilustra con el siguiente caso: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

 

 

 

Ejemplo

Problema

Elevar al cuadrado el binomio. (2x +6)2

 

(2x)2 = 4x2 

Eleva al cuadrado el primer término.

 

(2x)(6)(2) = 24x

Multiplica los términos y duplicar el producto.

 

62 = 36

Eleva al cuadrado el segundo término.

 

4x2 + 24x +36

Combina los términos.

Respuesta

(2x +6)2 = 4x2 + 24x +36

 

 

 

Puedes comprobar esta respuesta usando la propiedad distributiva o el método FOIL.

 

 

Encuentra el producto:

(2s + 9)2

 

A) 4s2 + 81

 

B) 4s + 18

 

C) 4s2 + 36s + 81

 

D) 4s2 + 18s + 18

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4s2 + 81

Incorrecto. Elevaste al cuadrado el primer término, y también el segundo término. Pero olvidaste el término de en medio, que es 2 veces el producto de 2s y 9, que es 36s. La respuesta correcta es 4s2 + 36s + 81.

 

B) 4s + 18

Incorrecto. Debes elevar al cuadrado (2s + 9), no duplicarlo. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; en este caso, a = 2s y b = 9, entonces (2s + 9)2 = 4s2 + 36s + 81.

 

C) 4s2 + 36s + 81

Correcto. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; en este caso, a = 2s y b = 9, entonces (2s + 9)2 = 4s2 + 2(18s) + 81 = 4s2 + 36s + 81.

 

D) 4s2 + 18s + 18

Incorrecto. Los términos 18s y 18 son incorrectos. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; en este caso, a = 2s y b = 9, entonces (2s + 9)2 = 4s2 + 36s + 81.

 

 

 

El Cuadrado de la Resta de un Binomio

 

¿Existirá también un patrón cuando elevamos al cuadrado la resta entre dos términos? ¡Sí! Como la resta puede ser expresada como la suma del opuesto, sucede un patrón similar.

 

Considere el cuadrado del binomio (x – 7). Puedes usar FOIL.

 

 

Ejemplo

Problema

Elevar al cuadrado el binomio. (x – 7)2

 

(x – 7)(x – 7)

Reescribe como una multiplicación.

 

x(x) = x2

x(−7) = −7x

−7(x) = −7x

−7(−7) = 49

 

First

Outer

Inner

Last

 

x2 + (−7x) + (−7x) + 49

Suma los términos.

 

x2 – 14x + 49

Combina los términos semejantes.

Respuesta

(x – 7)2 = x2 – 14x + 49

 

 

 

Observa que el patrón es similar a cuando elevas al cuadrado la suma del binomio.

 

Elevando al Cuadrado la Resta de un Binomio

 

Para elevar al cuadrado la resta de un binomio:

 

·        Elevar al cuadrado el primer término

·        Restar el doble producto de los términos de en medio

·        Elevar al cuadrado el segundo término

 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

 

 

 

Ejemplo

Problema

Elevar al cuadrado el binomio. (4s – 3)2

 

(4s)2 = 16s2

Eleva al cuadrado el primer término, incluyendo el coeficiente.

 

(4s)( −3)(2) = −24s

Multiplica los dos términos y duplicar el resultado.

 

(−3)2 = 9

Eleva al cuadrado el segundo término.

 

16s2 – 24s + 9

Suma los términos.

Respuesta

(4s – 3)2 = 16s2 – 24s + 9

 

 

 

Elevar al cuadrado el binomio.

(2r – 9)2

 

A) 4r2 – 81

 

B) 4r – 18

 

C) 4r2 – 36r + 81

 

D) 4r2 + 18r – 18

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4r2 – 81

Incorrecto. Elevaste al cuadrado el primer término, y también elevaste al cuadrado el segundo término, pero olvidaste que hay un término en medio, que es (2r)(-9)(2) = -36r. La respuesta correcta es 4r2 – 36r + 81.

 

B) 4r – 18

Incorrecto. El exponente 2 significa que el binomio debe elevarse al cuadrado y no multiplicarse por dos. La respuesta correcta es 4r2 – 36r + 81.

 

C) 4r2 – 36r + 81

Correcto. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, y en este caso a = 2r y b = 9. Entonces (2r – 9)2 = 4r2 – 36r + 81.

 

D) 4r2 + 18r – 18

Incorrecto. Los términos 18r y -18 son incorrectos. (a – b)2 = a2 – 2ab + b2, y en este caso a = 2r y b = 9. Entonces (2r – 9)2 = 4r2 – 36r + 81.

 

 

 

Los Productos de una Suma y una Resta

 

Existe entre los binomios un tercer producto especial a considerar: el producto de la suma de dos términos y la resta de los mismos dos términos. En este caso, también surge un patrón. Aquí hay un ejemplo:

 

 

Ejemplo

Problema

Multiplicar los binomios. (x + 8)(x – 8)

 

x(x) = x2

x(-8) = -8x

8(x) = +8x

8(-8) = -64

First

Outer

Inner

Last

 

x2 – 8x + 8x – 64

Suma los términos.

Respuesta

(x + 8)(x – 8)= x2 – 64

 

 

 

Observa que la respuesta a este producto de binomios es también un binomio — la diferencia de dos cuadrados perfectos. No hay un término en medio en este caso. ¿Por qué sucede esto? Los dos términos son opuestos y por lo tanto su suma es cero.

 

El Producto de una Suma y una Resta

 

El producto de la suma de dos términos (a + b) y la resta de esos dos términos (a – b) es la resta del cuadrado de los dos términos.

 

(a + b)(a – b) = (a – b)(a + b) = a2 – b2

 

 

 

Ejemplo

Problema

Multiplicar los binomios. (2n – 5)(2n + 5)

 

(2n)2 = 4n2

Eleva al cuadrado el primer término, incluyendo el coeficiente.

 

(5)2 = 25

Eleva al cuadrado el segundo término.

 

4n2 - 25

Calcula la diferencia.

Respuesta

(2n – 5)(2n + 5) = 4n2 – 25

 

 

 

Encuentra el producto:

(2r – 9)(2r + 9)

 

A) 4r2 – 81

 

B) 4r – 18

 

C) 4r2 – 36r + 81

 

D) 4r2 – 36r – 81

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 4r2 – 81

Correcto. (a – b)(a + b) = a2 – b2, y en este caso a = 2r y b = 9. So

(2r – 9)(2r + 9) = 4r2 – 81.

 

B) 4r – 18

Incorrecto. Cada término debe elevarse al cuadrado, y no duplicarse. (2r – 9)(2r + 9) = 4r2 – 81.

 

C) 4r2 – 36r + 81

Incorrecto. Esto no es el cuadrado de la resta. Un binomio es la resta pero el otro es la suma. (a – b)(a + b) = a2 – b2, y en este caso a = 2r y b = 9. So

(2r – 9)(2r + 9) = 4r2 – 81.

 

D) 4r2 – 36r – 81

Incorrecto. (a – b)(a + b) = a2 – b2, y en este caso a = 2r y b = 9. So

(2r – 9)(2r + 9) = 4r2 – 81.

 

 

 

Sumario

 

Algunos productos de la multiplicación de binomios siguen un patrón predecible que los hace fáciles de multiplicar. A estos se les llama producto especiales. Existen tres productos especiales de binomios y cada uno sigue una fórmula específica: elevando al cuadrado la suma de un binomio, elevando al cuadrado la resta de un binomio, y el producto de la suma y la resta.