Reglas de los Exponentes

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Entender las reglas de los exponentes.

·         Simplificar y resolver expresiones en notación exponencial.

 

Introducción

 

Necesitamos un lenguaje común para comunicar ideas matemáticas clara y eficientemente. La Notación Exponencial es un ejemplo. Fue desarrollada para expresar multiplicaciones repetidas y para hacer más fácil escribir números largos. Por ejemplo, modelos de crecimiento de poblaciones normalmente usan exponentes para manejar y manipular números grandes que cambian rápido con el tiempo.

 

Para trabajar con exponentes, necesitamos "hablar el lenguaje" y aprender primero algunas reglas.

 

¿Qué es la Notación Exponencial?

 

La notación exponencial tiene dos partes. La base, como el nombre lo dice, es el número de abajo. La otra parte de la notación es un número pequeño escrito en el superíndice a la derecha de la base, se llama exponente. Abajo hay algunos ejemplos de la notación exponencial Usaremos estos ejemplos para aprender sobre la notación.

 

103

251

-34

 

Empecemos con 103. La base es 10. Esto significa que 10 es un factor, y que va a ser multiplicado por sí mismo cierto número de veces. El número preciso de veces está dado por el exponente, el número en el superíndice. En este caso, el exponente es 3, lo que significa que la base 10 será usada como factor 3 veces. Entonces 103 significa 10 • 10 • 10.

 

Ahora sabemos lo que significa 103, pero ¿cómo lo pronunciamos? Tenemos muchas opciones: este término podría decirse como "10 elevado a la tercera potencia" o "10 a la tercera, o "10 al cubo." Las palabras "elevado a la potencia" se insertan entre la base y el exponente para indicar la notación exponencial.

 

Bien. Consideremos 251. ¿Qué significa el exponente 1? Cualquier valor elevado a la potencia de 1 es simplemente el mismo valor. Esto tiene sentido cuando pensamos en ello, porque el exponente 1 significa la base es usada como factor sólo una vez. Entonces la base está sola, y 251 es simplemente 25.

 

Esto nos deja con el término -34. Este ejemplo es un poco complicado porque hay un signo negativo. Una de las reglas de la notación exponencial es que el exponente se relaciona sólo con el valor inmediato a su izquierda. Entonces, -34 no significa -3 • -3 • -3 • -3. Significa " el opuesto de 34," o — (3 • 3 • 3 • 3). Si quisiéramos que la base fuera -3, tendríamos que usar paréntesis en la notación: (-3)4.  ¿Por qué tan exigentes? Bueno, haz las cuentas:

 

-34 = – (3 • 3 • 3 • 3) = -81

(-3)4 = -3 • -3 • -3 • -3 = 81

 

Eso es una diferencia importante.

 

Reglas para Calcular Exponentes

Hemos aprendido la regla de que el exponente sólo se relaciona con el número directamente a su izquierda a menos que se use un paréntesis — cuando un exponente se encuentra fuera el paréntesis, todo se eleva a esa potencia. Considera el siguiente ejemplo:

(5 + 3)2

De acuerdo con el orden de operaciones, debemos primero simplificar lo que está entre paréntesis antes de hacer cualquier otra operación. Entonces sumamos 5 y 3 y luego elevamos la suma, 8, al cuadrado para obtener 64. Otra forma de proceder es reescribir (5 + 3)2 como (5 + 3)(5 + 3), y luego multiplicarlo para obtener una vez más 64.

(5 + 3)2 = (8)2 = 8 • 8 = 64

 

(5 + 3)2 = (5 + 3)(5 + 3) = 5(5 + 3) + 3(5 +3) = 25 + 15 + 15 + 9 = 64

 

Los paréntesis pueden ser usados de otras formas con la notación exponencial. Por ejemplo, podemos usarlos para describir un término exponencial a una potencia. Por ejemplo, tomemos 52 y lo elevamos a la 4ta potencia. Escribimos eso como (52)4. Cuando un número escrito con la notación exponencial es elevado a una potencia, se llama "la potencia de una potencia."

 

En esta expresión, la base es 52 y el exponente es 4: 52 se usará como factor 4 veces. Podemos reescribir este problema como 52 • 52 • 52 • 52 o (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5).  Nota que resulta 5 multiplicado 8 veces. ¿De qué otra forma podemos escribir eso? 58.

 

Esto nos lleva a otra regla. Compara 58 con el término original de (52)4. Nota que el nuevo exponente es igual al producto de los exponentes originales: 2 • 4 = 8. Un atajo para simplificar la potencia de una potencia es multiplicar los exponentes y usar la misma base.

 

Hay también una regla para combinar dos números en forma exponencial que tienen la misma base. Considera la siguiente expresión:

(23)(24)

Esto puede reescribirse como (2 • 2 • 2) (2 • 2 • 2 • 2) o 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2. En forma exponencial, escribirías el producto como 27. Nota que 7 es la suma de los dos exponentes originales, 3 y 4. Para multiplicar términos exponenciales con la misma base, simplemente sumas los exponentes.

 

Reglas de los Exponentes

 

Un exponente sólo aplica al valor que esta inmediatamente a su izquierda

 

Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.

 

Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, sumar sus exponentes. (nx)(ny)=nx+y

 

Para elevar la potencia a una potencia, multiplicar los exponentes. (nx)y= nxy

 

 

 

Simplifica la expresión, manteniendo la respuesta en notación exponencial.

 

(23 • 22)4

 

A) 224

B) 49

C) 220

D) 29

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A. Incorrecto. 224 no es equivalente a (23 • 22)4. Los exponentes se multiplican sólo cuando tienes la potencia de una potencia, no cuando multiplicas términos. En ese caso sumas los exponentes. La cantidad entre paréntesis es 25, no 26. La respuesta correcta es 220.

 

B. Incorrecto. 49 no es equivalente a (23 • 22)4. Cuando multiplicas potencias, sumas los exponentes pero conservas la misa base. La cantidad entre paréntesis es 25. Entonces para elevar a la potencia de 4, multiplicas los exponentes 5 y 4. La respuesta correcta es 220.

 

C. Correcto. (23 • 22)4 = 220. Primero, simplificas lo que está dentro de los paréntesis: 23 • 22 = 25 (sumas los exponentes). Luego elevas ese término a la potencia fuera de los paréntesis: (25)4 = 220 (multiplicas los exponentes).

 

D. Incorrecto. 29 no es equivalente a (23 • 22)4. En esta respuesta incorrecta, todos los exponentes fueron sumados. pero cuando calculas la potencia de una potencia, debes multiplicar los exponentes. (23 • 22)4 = (25)4 = 220. La respuesta correcta es 220.

 

 

Exponentes Cero y Negativos

 

Los exponentes no son siempre positivos. Pero, ¿qué significa cuando un exponente es 0 o un número negativo? Vamos a usar lo que sabemos de las potencias de 10 para averiguarlo. Abajo hay una lista de potencias de 10 y sus valores equivalentes. Mira cómo cambian los números cuando vamos hacia abajo de las columnas izquierda y derecha. Hay un patrón ahí — ¿lo ves?

 

Forma Exponencial

Forma Expandida

Valor

105

10  • 10 • 10 • 10 • 10

100,000

104

10  • 10 • 10 • 10

10,000

103

10  • 10 • 10

1,000

102

10 • 10

100

101

10

10

 

De arriba hacia abajo de la tabla, cada fila pierde un factor de 10 del valor anterior. De la fila 1 a la fila 2, la forma exponencial va de 105 a 104. El valor cae de 100,000 a 10,000. Otra forma de describir esto es que cada valor es dividido entre 10 para producir el siguiente valor hacia abajo de la columna.

 

Podemos continuar este patrón y añadir más filas como se muestra abajo, cada vez dividimos el número anterior entre 10 para obtener el número de la siguiente fila: 

 

Forma Exponencial

Forma Expandida

Valor

105

10  • 10 • 10 • 10 • 10

100,000

104

10  • 10 • 10 • 10

10,000

103

10  • 10 • 10

1,000

102

10 • 10

100

101

10

10

100

1

1

10-1

0.1

 

10-2

 

0.01

 

Siguiendo el patrón, vemos que 100 es igual a 1. Luego llegamos a los exponentes negativos: 10-1 es igual a , y 10-2 es lo mismo que . Se ve interesante. Observa de nuevo la tabla, y busca qué representa 10 en la forma exponencial. Es 101. Si sustituimos esa forma de 10 en la fracción , la fracción se convierte en . Entonces 10-1 =. Algo muy similar puede hacerse con 10-2:

 

10-2 =  y 100 = 102

 

 

10-2 =

 

¿Cómo ves? Los números con exponentes negativos pueden escribirse como fracciones, y no sólo cualquier fracción. Un número elevado a una potencia negativa es equivalente al recíproco del número elevado al opuesto de la potencia. Suena complicado, pero sólo significa lo que hemos visto. Un número elevado a una potencia negativa es igual a 1 dividido entre el número elevado a la misma potencia pero positiva. Por ejemplo, 10-3 = y 10-7=.

 

Para ver si estos patrones son ciertos para otros números que no sean 10, observa la tabla con potencias de 3:

 

Forma Exponencial

Forma Expandida

Valor

35

3 • 3 • 3 • 3 • 3

243

34

3 • 3 • 3 • 3

81

33

3 • 3 • 3

27

32

3 • 3

9

31

3

3

30

1

1

3-1

3-2

 

 

Sí, se parece a la tabla anterior. Los números son diferentes pero los patrones son los mismos. Ahora sabemos cómo se comportan los números con exponente cero y negativo.

 

Más Reglas de los Exponentes

 

Para cualquier número distinto de cero n, n0 = 1. Por ejemplo, 180 = 1.

Para cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, n-x= . Por ejemplo, 5-2= .

 

Nota que estas reglas dicen que la base, n, debe ser un "número distinto de cero". Cuando n es 0, n0 y n elevado a una potencia negativa no están definidos.

 

 

 

Luisa y Michele trabajan juntas para simplificar la siguiente expresión exponencial:

 

(3 + 2)2 • (53)2 • (50)( 54)

 

Descubren que ambas tienen soluciones diferentes:

 

Solución de Luisa: 32 • 22 • 56 • 54 = 32 • 22 • 510

Solución de Michele: 52 • 55 • 0 = 0

 

¿Cuál de las dos chicas ha usado apropiadamente las reglas de los exponentes para obtener correctamente una expresión exponencial simplificada?

 

A) Ambas, Luisa y Michele tienen respuestas correctas y equivalentes a la expresión original.

B) Ni Luisa ni Michele tienen respuestas correctas.

C) Sólo Luisa ha simplificado correctamente la expresión original.

D) Sólo Michele ha simplificado correctamente la expresión original.

 

Mostrar/Ocultar la Respuesta

A) Incorrecto. Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión. (3 + 2)2 = 52 o 25, no 32 • 22, lo cual es 9 • 4 o 36. Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (53)2 = 56. Segundo, (50)(54) = 54, porque 50 = 1 o porque (50)(54) = 50 + 4. La respuesta correcta es B, ambas están equivocadas.

 

B) Correcto. Ninguna de las chicas ha simplificado correctamente. Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión. (3 + 2)2 = 52 o 25, 32 • 22, lo cual es 9 • 4 o 36. Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero, para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (53)2 = 56. Segundo, (50)(54) = 54, porque 50 = 1 o porque (50)(54) = 50 + 4.  (Esta expresión puede ser simplificada como 512.)

 

C) Incorrecto. Luisa ha simplificado incorrectamente el primer término de la expresión. (3 + 2)2 = 52 o 25, no 32 • 22, lo cual es 9 • 4 o 36. La respuesta correcta es B, ambas están equivocadas.

 

D) Incorrecto. Michele ha cometido dos errores en su trabajo. Primero, para simplificar la potencia de una potencia, debió haber multiplicado, no sumado, los exponentes: (53)2 = 56. Segundo, (50)(54)= 54, porque 50 = 1 o porque (50)(54) = 50 + 4. la respuesta correcta es B, ambas están equivocadas.

 

 

Sumario

 

La notación exponencial está compuesta de una base y un exponente. Es una forma corta de escribir multiplicaciones repetidas, e indican que la base es un factor y el exponente el número de veces que el factor es usado en la multiplicación. Las reglas básicas de los exponentes son las siguientes:

 

Un exponente sólo aplica al valor que está inmediatamente a su izquierda.

 

Cuando una cantidad entre paréntesis es elevada a una potencia, el exponente aplica a todo lo que está dentro del paréntesis.

 

Para multiplicar dos términos que tienen la misma base, se suman sus exponentes (nx)(ny)=nx+y

 

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes. (nx)y= nxy

 

Para cualquier número distinto de cero n, n0 = 1.

Para cualquier número distinto de cero n y cualquier entero x, n-x=.